六万有引力和天体运动（一）开普勒行星定律1.第一定律——轨道定律所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于所有椭圆的一个焦点上。

因此地球公转时有近日点和远日点2.第二定律——面积定律太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

因此行星的公转速率是不均匀的，在近日点最快，在远日点最慢。

3.第三定律——周期定律所有行星椭圆轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的平方的比值都相等。

R 3T 2 ＝k k是与行星无关，而与太阳有关的量。

（1）若公转轨道为圆，那么R就是指半径。

（2）第三定律针对的是绕同一中心天体运动的各星体，若中心天体不同，不能死套周期定律：例如比较地球和火星，就有R地3T地2＝R火3T火2＝kk是一个与中心天体太阳有关的常数，与行星无关。

例如比较月球和人造卫星，就有R月3T月2＝R卫3T卫2＝k ′k ′是一个与中心天体地球相关的常数，与卫星无关。

例如行星的卫星并非主要绕太阳运动，不能直接和行星比较，即R地3T地2≠R月3T月2例1.已知日地距离为1.5亿千米，火星公转周期为1.88年，据此可推算得火星到太阳的距离约为A. 1.2亿千米 B. 2.3亿千米C. 4.6亿千米D. 6.9亿千米解：B（二）万有引力定律1.基本概念（1）表述：自然界中任何两个物体都是相互吸引的——引力普遍存在；引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比——F万∝m1m2 R 2（2）公式：F万＝G m1m2 R 2其中G称为引力常量，适用于任何物体，由卡文迪许首先测出。

它在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互作用力：G＝6.67×10－11N·m2/kg2。

（3）定律的适用范围：①定律只适用于质点间的相互作用，公式中的R是所研究的两质点间的距离。

②定律还可用于两均匀球体间的相互作用，公式中的R是两球心间的距离。

③定律还可用于一均匀球体和球体外另一质点间的相互作用，公式中的R是球心与质点间的距离。

例2.已知月球中心到地球中心的距离约是地球半径的60倍，两者质量之比M月∶M地＝1∶81。

问由地球飞往月球的飞船距月球中心多远时，地球与月球对飞船的万有引力的合力恰好为零？解：设飞船质量为m，所求距离为d，据平衡条件有G M月md 2＝GM地m(60R地－d)2解得d＝6 R地2.万有引力和重力（1）地面上物体的重力mg是地球对该物体的万有引力的一个分力。

随着纬度的升高，物体所需向心力减小，物体的重力逐渐增大。

事实上，地球表面的物体受到的万有引力和重力十分接近。

例如，在赤道上的一个质量为1kg的物体，用F万＝G MmR 2计算出来的万有引力是9.830N，用F向＝m 4π2T 2R计算出来的的向心力是0.034N，那么物体受到的重力是mg＝F万－F向＝9.796N。

因此（2）在地面及附近，可认为mg＝G Mm R 2那么重力加速度g＝G MR 2——黄金代换例3.已知地球的半径约为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T。

又知月球的公转可看做匀速圆周运动，试用上述物理量表达出地月距离L（L远大于R）。

解：L远大于R，可将地球和月球视为质点，由万有引力定律和牛顿第二定律有G Mm月L 2＝m月4π2T 2L ①在地球表面，有m物g＝G Mm物R 2②联立①、②式解得L＝3gR 2T 24π2（3）地球表面附近高度为h（h＜＜R）的地方，仍可视为重力等于万有引力：mg ′＝G Mm(R＋h)2故距地面高度为h的地方，重力加速度g ′＝GM(R＋h)2 ＝R2(R＋h)2g可见，随高度的增大，重力加速度迅速减小。

例4.在地球某处海平面上测得物体自由下落高度h时所经历的时间为t。

在某高山顶上测得物体下落同样的高度所需时间增加了Δt 。

已知地球半径为R ，试用上述各量表达山的高度H 。

解：设地面的重力加速度为g ，据直线运动规律有g ＝ 2ht2设高山顶上的重力加速度为g ′，同理有g ′＝ 2h(t ＋Δt ) 2则 gg ′＝ ( t ＋Δt t )2 ①在地面附近，可认为重力等于万有引力，有 mg ＝G Mm R 2mg ′＝G Mm(R ＋H )2则 gg ′＝ ( R ＋H R )2 ②联立①②式得 t ＋Δt t ＝ R ＋H R 解得H ＝ Δtt R3.利用万有引力定律测量天体质量和密度（1） 以天体表面的物体为研究对象设星球半径为R ，在天体表面有：mg ＝GMmR 2得M ＝gR 2 G ；而V ＝ 4 3πR 3 ，则ρ＝ M V ＝ 3g4πGR例5. 已知地球表面的重力加速度为9.8m/s 2，地球半径为6.4×103km ，引力常量为6.67×10－11N ·m 2/kg 2。

（1）试估算地球的平均密度。

（2）已知地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，试估算地核的平均密度。

解：设地面上有一质量为m 的物体，它所受到的地球引力近似等于它的重力：mg ＝G Mm R 2 得 M 地＝gR 2Gρ地＝ M 地 V 地 ＝ 3g4πGR ＝ 3×9.8 4×3.14×6.67×10－11×6.4×106 kg/m 3＝5.48×103kg/m 3 ρ核＝ 0.34M 地 0.16V 地＝ 178 ρ地＝11.6×103kg/m 3例6. 宇航员在地球表面以一定的初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过5t 的时间后小球才落回原处（地球重力加速度取g ＝10m/s 2，空气阻力不计），求：（1）该星球表面附近的重力加速度；（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地＝1∶4，求该星球的质量和地球质量之比。

解：物体作竖直上抛运动时，上升时间t ＝ va则a ∝ 1t 即 g 星 g 地 ＝ t 5t 得g 星＝2 m/s 2在星球表面有mg ＝G Mm R 2，故有M ∝gR 2即 M 星 M 地 ＝ g 星R 星2 g 地R 地2 ＝ 1 80（2） 以绕中心天体运动的物体为研究对象设物体的轨道半径为r ，由牛顿第二定律及万有引力定律有F 万＝F 向G Mm r 2＝m v 2 r ＝mω2r ＝mv ω＝m 4π2 T 2r ＝m 4π2f 2r 得M ＝v 2 G r ＝ 4π2 G T 2r 3 ； 若已知中心天体的半径R ，V ＝ 4 3πR 3 ，则ρ＝ MV特别地，若物体是在中心天体表面附近飞行，则有R ＝r例7. 一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，测得飞船绕行一周所需时间为T ，若该行星的密度可视为是均匀的，求该行星密度的表达式。

（引力常量为G ） 解：据万有引力和牛顿第二定律有 G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得M ＝ 4π2 G T 2r 3由于飞船是在行星表面附近飞行，可认为轨道半径r 与星球半径R 相等，有 V ＝4 3πr 3则ρ＝M V ＝ 3π G T 2（三） 人造卫星1.人造卫星的发射所谓“发射速度”并非指火箭的起飞速度，而是卫星脱离火箭进入轨道时的速度。

2.人造卫星的在轨运行很多人造地球卫星进入轨道后，就以一稳定的速度做匀速圆周运动，轨道中心在地心。

其运动所需的向心力由地球对卫星的万有引力提供。

于是有G Mmr 2＝mv 2r＝mω2r＝m4π2T 2r＝m4π2f 2r其中r为轨道半径，设地球半径为R，卫星距地面的高度为h，则r＝R地＋h。

卫星按照不同的用途被安排在距地高度不同的圆轨道上。

比较不同轨道上的卫星，它们的运行参数和轨道半径间有下列关系：绕行速度v和半径r：由G Mmr 2＝mv 2r得v2∝1r，可见r越大，绕行速度越小。

即卫星的轨道越高，其线速度越小。

角速度ω和半径r：由G Mmr 2＝mω2r 得ω2∝1r 3可见r越大，角速度ω越小。

环绕周期T和半径r：由G Mmr 2＝m4π2T 2r 得T2∝r 3可见r越大，周期T越大。

卫星的向心加速度a和半径r：由G Mmr 2＝ma得a∝1r 2可见r越大，向心加速度a越小。

例8.火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆，已知火卫一的周期为7h39min，火卫二的周期是30h18min，那么两颗卫星相比较：A.火卫一距火星表面近B.火卫二的角速度较大C.火卫一的运动速度较大D.火卫二的向心加速度较大解：AC3.三种宇宙速度（1）第一宇宙速度卫星脱离火箭，被火箭发射到轨道上时，有一个最小发射速度，若卫星脱离火箭时的速度比它还小，卫星将象炮弹一样落回地面。

这一最小发射速度称为第一宇宙速度，记为vⅠ。

卫星以该速度运行时，处于最低的近地轨道，如果轨道再低，卫星的运行将受到空气阻力的影响，会坠落回地面。

此时轨道距地面约200km，其轨道半径可视为地球半径。

①vⅠ是卫星的最小发射速度，若发射速度达不到vⅠ，卫星将坠回地面。

②vⅠ是卫星轨道为圆形时的最大绕行速度，若速度再增大，轨道将不再是圆。

例9.已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响，（1）试推导第一宇宙速度v1的表达式。

（2）若某卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距地面高度为h，求卫星的运行周期T。

解：（1）卫星绕地运动时，设轨道半径为r，据万有引力定律和牛顿第二定律有：G Mmr 2＝mvⅠ2r由于卫星此时在地表附近飞行，有mg ＝G Mmr 2r ＝R联立可解得v Ⅰ＝gR 地 ＝7.9km/s （2）据万有引力定律和牛顿第二定律有： G Mm (R ＋h )2 ＝m 4π2T 2(R ＋h )对于地面上的物体，有 m 物g ＝G Mm 物R 2联立可解得T ＝2πR ＋hRR ＋hg（2） 第二宇宙速度和第三宇宙速度如果第三级火箭进入圆轨道后，发动机继续工作，使得卫星的发射速度大于7.9km/s ，那么卫星将沿椭圆轨道运行；若卫星的发射速度进一步增大，达到11.2km/s 时，卫星就会脱离地球的引力而不再绕地运行。

此后卫星将成为绕太阳运行的人造行星或者向其它行星飞去。

这个速度是航天器能够脱离地球引力的最小速度，称为第二宇宙速度，记为v Ⅱ，也称为地球表面的逃逸速度。

如果发射速度进一步增大，达到16.7km/s 以上时，航天器将脱离太阳引力束缚，飞到太阳系以外的宇宙中，不再返回太阳系或地球。

这一速度称为第三宇宙速度，记为v Ⅲ。

4.地球同步静止卫星卫星绕地球旋转周期与地球自转周期完全相同，相对位置保持不变。

此卫星在地球上看来是静止地挂在高空，称为地球同步静止卫星，简称同步卫星或静止卫星。