南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰ _____.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰= _________. 3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为_______.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为________.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为__________.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x y z +=arcsin的定义域是（ ） （A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ； （B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x . 2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体 的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ ） （A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0.3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（ ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ,则在点（0，0）处 （ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在；（C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。

5.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的三个线性无关的解，则 0y py qy '''++=的通解为 （ ）（A ）1122C y C y +； （B ）1223C y C y +；（C ）1122C y C y +33C y +；（D ）1122C y C y +123()C C y -+.三、计算题(共24分，每小题8分)1、设arctan x y z x y +=-，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.2、判断级数1313n n n ∞=-∑的敛散性. 3、求微分方程71212y y y x '''-+=的通解四、解答题（一）(共24分，每小题8分)1、设方程(,)0f xz yz =可确定z 是,x y 的函数，且(,)f u v 具有连续偏导数，求dz .2、计算曲线积分22(sin 2)()L x y dx x y dy --+⎰，其中L 为由点(0,2)A 到(0,0)O 的左半圆周222x y y +=.3、求级数12nn n x n ∞=⋅∑的收敛域与和函数. 五、解答题（二）(共16分，每小题8分)1、求椭球面2222349x y z ++=上点（1，1，1 ）处的切平面方程和法线方程.2、利用高斯公式计算曲面积分()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰, 其中∑为平面0,0,0,1,1,1x y z x y z ====== 所围成的立体的表面的外侧.六、证明题(本题满分6分)设数列{}n a 单调减少，0n a >（1,2,n =）且1(1)n n n a ∞=-∑发散， 证明11()1n n n a ∞=+∑收敛. 南昌大学 2011～2012学年第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z _____.2. 设y z x =，则21x y dz ===_________________.3. 设22(2)(2)()mx y dx x y dy x y ++++是某个二元 函数的全微分，则=m _______.4. 计算2110y x I dx e dy -==⎰⎰________.5. 将函数1()4f x x =-展开成x 的幂级数为__________.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是（ ）（A ）(1,1,2)-； （B ）(1,1,2)-；（C ）；(1,1,2)-- （D ）(1,1,2)．2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x y x xy y x f , 则在点(0,0)处（ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在；（C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在．3．下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ）（A ）0)()(=++'x q y x p y ；（B ）0)()(=+'+''y x q y x p y ； （C ）)()()(x f y x q y x p y =+'+''；（D ） 0)()(=+'+''x q y x p y ．4．若级数0(2)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在1x =处（ ）（A ）敛散性不确定 （B ）发散（C ）条件收敛 （D ）绝对收敛5．设(,)f x y 为连续函数，(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由曲线0y =,2y x =,1x =所围闭区域，则(,)f x y 是（ ）（A ）xy ； （B ）2xy ；（C ）18xy +； （D ）1xy + 三、计算题（一）(共24分，每小题6分)1、设ln z =求z x∂∂和2z x y ∂∂∂ 2、判断级数1()41n n n n ∞=+∑的敛散性3、求过点(2,0,3)-且与直线23702210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程 4、设函数),(y x z z =是由方程2221z x y z e ++=+ 所确定的隐函数，求zx∂∂和z y ∂∂ 四、计算题（二）(共21分，每小题7分) 1、计算对弧长的曲线积分L ⎰，其中L 为曲线221x y += 2、计算(sin )(cos 1)x x L e y y dx e y dy -+-⎰，其中L 是从点(2,0)A经y =到点(0,0)O 的弧．3、设∑为柱面122=+y x 和平面0,1z z == 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧，利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰∑++ydxdz x xzdydz zdxdy y22． 五、解答题(共14分，每小题7分)1、求幂级数11n n n x n ∞=+∑的收敛域及其和函数 2、求微分方程5432y y y x '''++=-的通解六、应用题(本题满分6分)求函数22(,)2f x y x xy y x y =-+-+的极值七、证明题(本题满分5分)设正项级数∑∞=1n n u 和1n n v ∞=∑都收敛，证明级数21()n n n u v ∞=+∑也收敛 南昌大学 2013～2014学年第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 微分方程x y y e 2'-=满足初始条件y (0)0=的特解为_________.2. 在y 轴上与点A (1,3,7)-和B (5,7,5)-等距离的点是_________.3. 函数z u =的定义域是_______. 4. 设函数 cos(2)xy z e x y =+, 则 z y∂=∂________. 5. 改换二次积分的积分次序1101(,)xx dx f x y dy --=⎰⎰_______.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 已知3,3OA i k OB j k =+=+,则OAB ∆的面积为（ ） （A（B； （C） （D ）2. 2. 设(,)z z x y =是由方程3330z xyz a --=所确定的隐函数,则z y∂=∂（ ）（A ）2xz z xy +；（B ）2xz z xy -；（C ）2xz z xy --；（D ）2yz z xy-. 3. 设 ()y f x = 是方程 ''2'40y y y -+= 的一个解， 若0()0f x >，且0'()0f x =，则函数()f x 在点0x （ ）（A ）取得极小值 ； （B ）某个邻域内单调增加；（C ）取得极大值； （D ）某个邻域内单调减少.4. 设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解, 12,C C 是任意常数, 则该非齐次线性微分方程的通解是（ ）（A ）1122123(1)C y C y C C y +---；（B ）11223C y C y y ++；（C ）1122123()C y C y C C y +-+；（D ）1122123(1)C y C y C C y ++--。

5. 函数()x f x e =关于x 的幂级数展开式为（ ）（A ）212!!n x x x n +++++ ()x -∞<<+∞； （B ）21n x x x +++++ ()x -∞<<+∞； （C ）2421(1)n n x x x -+-+-+ ()x -∞<<+∞； （D ）2421n x x x +++++ ()x -∞<<+∞.三、计算题(8分) 求微分方程 3''2'3x y y y e -+-= 的通解。

四、解下列各题(共2小题，每小题8分，共16分)1、已知两条直线的方程是1212321:,:,101211x y z x y z L L ---+-====- 求过1L 且平行于2L 的平面方程。

2、设 z f xy y x y x1()()ϕ=++， 且f ,ϕ具有二阶连续导导数，求2z x y∂∂∂。

五、求下列积分(共2小题，每小题8分，共16分)1、计算二重积分22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰, 其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。