2020年福建省厦门一中高考数学最后一模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,2}，B={0,2，−2}，则A∪B=()A. {−2,0，2}B. {−2,0，2，2}C. {0,2}D. {−2}2.复数z满足1−1i=z(2+3i)，则z的虚部为()A. −113B. −113i C. −513D. −173.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是()A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月D. 最低气温低于0℃的月份有4个4.济南市某公交线路某区间内共设置四个站点(如图)，分别记为A，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A站点上车，且他们中的每个人在站点A i(i=0,1，2，3)下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为()A. 23B. 34C. 35D. 125.如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是()A. B. C. D.6.若，a∈(0,π2)，则sinα的值为()A. 4−√26B. 4+√26C. 718D. √237.已知函数f(x)=e x−(x+1)2(e为自然对数的底)，则f(x)的大致图象是()A. B.C. D.8.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，F2与抛物线C：y2=4√3x的焦点重合，点M在E上，MF2与x轴垂直，|MF2|=2，则E的离心率为()A. √2B. 32C. √3D. 29.执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A. −3B. −12C. 13D. 210.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a=4，b=6，B=60°，则sinA=()A. √62B. √32C. √63D. √3311.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点，则实数a的取值范围是()A. a<1B. a>1C. a≤1D. a≥112.已知点P是双曲线C：x24−y2=1的右支上一点，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为()．A. 1B. √2C. √3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若b⃗ =(1,1)，a⃗⋅b⃗ =2，|a⃗−b⃗ |=√7，则|a⃗|=______ ．14.y=sinx−cosx+sinxcosx的值域为______ ．15.已知直线y=−12x+b与曲线f(x)=−x3+2相切，则实数b=____________．16.已知球O的表面积为16π，三棱锥S−ABC的四个顶点均在球O的表面上，且底面为正三角形，SA=SB=SC=2√3，则此三棱锥的高ℎ=________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{b n}是首项为1的等差数列，数列{a n}满足a n+1−3a n−1=0，且b3+1=a2，a1=1．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．18. 如图，已知AB ⊥BC ，BE//CD ，∠DCB =90°，平面BCDE ⊥平面ABC ，CD =4，AB =BC =BE =2，F 为AD 中点． (1)证明：EF//平面ABC ； (2)求三棱锥D −BCF 的体积．19. 某种产品的广告支出x 与销售额y(单位：万元)之间有如表对应关系：x 2 4 5 6 8 y3040605070(Ⅰ)假设y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (Ⅱ)求相关指数R 2，并证明残差变量对销售额的影响占百分之几？参考公式：b ̂=∑x i ni=1y i −nx·y ∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂·x ，R 2=1−ni=1i 2∑(n y −y)220. 在平面直角坐标系xOy 中，A(2,4)是⊙M ：x 2+y 2−12x −14y +60=0上一点．(1)求过点A 的⊙M 的切线方程；(2)设平行于OA 的直线l 与⊙M 相交于B ，C 两点，且|BC|=2|OA|，求直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=(2−a)lnx +1x +2ax ．(1)当a =2时，求函数f(x)的极值； (2)当a <0时，求函数f(x)的单调增区间．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =4+5costy =5+5sint (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ(ρ≥0,0≤θ<2π)，求C 1与C 2交点的坐标．23.已知函数f(x)=|x+4|+|x−4|．(1)求不等式f(x)>3x的解集;(2)设函数f(x)的最小值为z，正实数m、n满足mn−2m−n=z，求证：m+n≥2√10+3．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查集合的并集运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：∵集合A={0,2}，B={0,2，−2}，∴A∪B={−2,0，2}．故选：A．2.答案：A解析：【分析】本题考查了复数的四则运算，以及复数的概念应用.由已知条件得到z=513−113i，从而得到该复数的虚部．【解答】解：∵复数z满足1−1i=z(2+3i)，所以z=1−1 i2+3i ==1+i2+3i=(1+i)(2−3i)13=5−i13=513−113i，∴虚部为−113．故选A．3.答案：D解析：解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D．由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4.答案：A解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．甲、乙两人下车包含的基本事件个数n=3×3=9，甲、乙两人不在同一站点下车包含的基本事件个数m=A32=6，由此能求出甲、乙两人不在同一站点下车的概率．【解答】解：济南市某公交线路某区间内共设置四个站点(如图)，分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点A i(i=0,1，2，3)下车是等可能的．则甲、乙两人包含的基本事件个数n=3×3=9，甲、乙两人不在同一站点下车包含的基本事件个数m=A32=6，∴甲、乙两人不在同一站点下车的概率为p=mn =69=23．故选A．5.答案：D解析：【分析】本题考查平行投影及平行投影作图法，考查一个空间四边形在不同面上的投影不同．比较基础．根据正投影的概念分别判断各个面上的投影即可得到结论．【解答】解：四边形D1MBN的俯视图为A，侧视图为C，正视图为B，故不可能是投影是D，故选D．6.答案：A解析：【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式及同角三角函数基本关系式的运用，属于基础题．【解答】解：，a∈(0,π2)，a+π4∈(π4,3π4)，∴sin(α+π4)=2√23∴=4−√26．故选A．7.答案：C解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数图象的应用，求出导数，利用图象分析极值点的范围即可求解．【解答】解：设f′(x)=e x−2(x+1)=0的解为x1，x2，x1，x2相当于函数y=e x和函数y=2(x+1)交点的横坐标，画出函数图象如图：由图可知f(x)的函数图象先增后减再增，−1<x1<0，x2>1，且x>x2时，f′(x)>0，递增.观察四个图象只有C符合．故选C．8.答案：C解析：【分析】本题考查了双曲线和抛物线的简单性质以及勾股定理，考查了运算能力，属于基础题．根据抛物线和双曲线的性质可得c=√3，根据双曲线的定义可得|MF1|=2a+2，根据勾股定理求出a的值，再根据离心率公式计算即可．【解答】解：F2与抛物线C：y2=4√3x的焦点重合，则F2(√3,0)，即c=√3，∴|F1F2|=2c=2√3，∵MF2与x轴垂直，|MF2|=2，∴|MF1|=2a+2，∴(2a+2)2=22+(2√3)2，解得a=1，=√3．∴e=ca故选：C．9.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是程序框图，属于基础题．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一圈，i=0，s=2，是，i=1，s=13;第二圈，是，i=2，s=−12;第三圈，是，i=3，s=−3；第四圈，是，i=4，s=2；第五圈，否，输出s，即输出2，故选D．10.答案：D解析：【分析】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．由B的度数求出sin B的值，再由a与b的值，利用正弦定理即可求出sin A的值．【解答】解：∵a=4，b=6，B=60°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得sinA=asinBb =4×√326=√33．故选D.11.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的零点问题，属于基础题．由题意，可转化为方程x2+2x+a=0没有实数根，所以Δ=4−4a<0，得a>1．【解答】解：函数f(x)=x2+2x+a没有零点，即方程x2+2x+a=0没有实数根，所以Δ=4−4a<0，得a>1．故选B．12.答案：A解析：【分析】由条件可得|PF1|−|PF2|=4，由题意可知△F1PF2为直角三角形，利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出△PF1F2的面积．本题考查双曲线的定义与性质，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【解答】−y2=1的a=2，b=1，c=√5．解：双曲线C：x24由双曲线的定义可得，|PF1|−|PF2|=4，由题意可知△F1PF2为直角三角形，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=20，故(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1|⋅|PF2|=|F1F2|2=20，即16+2|PF1|⋅|PF2|=20，故|PF1|⋅|PF2|=2，|PF1|⋅|PF2|=1．故△PF1F2的面积为12故选：A．13.答案：3解析：【分析】由已知利用数量积的性质可得√7=√a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ ，代入解出即可．本题考查了数量积的性质，属于基础题．解：∵b⃗ =(1,1)，∴|b⃗ |=√2．∵a⃗⋅b⃗ =2，|a⃗−b⃗ |=√7．∴√7=√a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ ，化为|a⃗|2=9，解得|a⃗|=3．故答案为：3．14.答案：[−√2−12,1]解析：【分析】首先将y=sinx−cosx+sinxcosx通过换元法，设sinx−cosx=t(−√2≤t≤√2)，关系式转化为：g(t)=−12t2+t+12，然后利用二次函数的性质就可求得结果．本题考查的知识点：二倍角的正弦，二次函数的性质，重点体现了换元法和配方法．【解答】解：∵y=sinx−cosx+sinxcosx，设sinx−cosx=t(−√2≤t≤√2)则：sinxcosx=1−t22，因此函数关系式转化为：g(t)=−12t2+t+12=−12(t−1)2+1(−√2≤t≤√2)，∴g(t)max=g(1)=1，g(t)min=g(−√2)=−√2−12，故y=sinx−cosx+sinxcosx的值域为[−√2−12,1]．故答案为：[−√2−12,1]．15.答案：18或−14解析：本题考查了导数的几何意义，属于较易题．利用导数求切线，即可得到b的值．【解答】解：设切点坐标为(m,n)，由题可得f′(x)=−3x2，所以−3m2=−12，解得m=±2，当m=2时，n=−6；当m=−2时，n=10．又点(m,n)在直线y=−12x+b上，所以−6=−12×2+b或10=−12×(−2)+b，解得b=18或−14．故答案为：18或−14．16.答案：3解析：【分析】此题考查了三棱锥外接球，难度不大．可知球心在高上，设未知数利用直角三角形列方程容易得解．【解答】解：如图，设OB=OS=R，SM=ℎ，AB=a，∴BM=√3a，因为球O的表面积为16π，所以4πR2=16π，即R=2．3又SB=2√3，所以在Rt△OMB中，(ℎ−2)2=4−(√33a)2，在Rt△SBM中，SB2=ℎ2+MB2，即12=ℎ2+(√33a)2，联立解得ℎ=3．故答案为3．17.答案：解：(Ⅰ)数列{a n}满足a n+1−3a n−1=0，a1=1，即为a n+1+12=3(a n+12)，可得a n+12=32⋅3n−1=12⋅3n，即a n=12(3n−1)；(Ⅱ)数列{b n}是首项为1，公差设为d的等差数列，b3+1=a2，即为2+2d=12×8，解得d=1，即b n=n；c n=a n b n=12(n⋅3n−n)，设S n=1⋅3+2⋅32+⋯+n⋅3n，3S n=1⋅32+2⋅33+⋯+n⋅3n+1，相减可得−2S n=3+32+⋯+3n−n⋅3n+1=3(1−3n)1−3−n⋅3n+1，化简可得S n=3+(2n−1)⋅3n+14，可得前n项和T n=3+(2n−1)⋅3n+18−n(n+1)4．解析：(Ⅰ)由构造等比数列，运用等比数列的定义和通项公式可得所求通项；(Ⅱ)数列{b n}是首项为1，公差设为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和错位相减法求和、分组求和法，化简整理可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查错位相减法求和和分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)设AC中点为G，连FG，BG，∵F为AD中点，∴FG//DC，FG=12DC，又由题意BE//CD ，BE =12CD ，∴EB//FG ，且EB =FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EB//FG ，又BG ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF//平面ABC ．(2)∵平面BCDE 所在平面垂直平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC =BC ，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥平面BCDE ，∵F 为AD 中点，∴V D−BCF =V F−BCD =12V A−BCD =16(12BC ⋅DC)AB =43，所以，三棱锥D −BCF 的体积是43．解析：(1)设AC 中点为G ，连FG ，BG ，推导出四边形BEFG 为平行四边形，从而EB//FG ，由此能证明EF//平面ABC ．(2)V D−BCF =V F−BCD =12V A−BCD ，由此能求出三棱锥D −BCF 的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(Ⅰ)x =5，y =50；∑x i 5i=1y j =1380，∑x i 25i=1=145； 则：b =i 5i=1i −nxy∑x 25−nx 2=1380−5×5×50145−5×52=6.5；a ̂=y −b̂x =50−6.5×5=17.5 所以线性回归方程为：y =6.5x +17.5(Ⅱ)∑(5i=1y i −y i )2=155，∑(5i=1y i −y)2=1000；R 2=15i=1i i 2∑(5y −y)2=1−1551000=0.845．即相关系数R 2为0.845，证明残差变量对销售额的影响占15.5%．解析：本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程的求法，是一个综合题目，这种题目符合新课标的大纲要求，是一个典型的题目．(Ⅰ)首先求出x ，y 的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程． (Ⅱ)利用公式求出相关指数R 2，即可得出结论．20.答案：解：(1)化圆M 的方程为标准方程：(x −6)2+(y −7)2=25，得圆心M(6,7)，半径r =5，∵A(2,4)，∴k AM=7−46−2=34，∴切线方程为y−4=−43(x−2)，即4x+3y−20=0；(2)∵k OA=2，∴可设直线l的方程为y=2x+m，即2x−y+m=0(m≠0，否则就与直线OA重合)，又|BC|=2|OA|=2×√22+42=4√5，∴圆心M(6,7)到直线l的距离d=√52−(|BC|2)2=√5，即22=√5，解得m=−10或m=0(不合题意，舍去)，∴直线l的方程为y=2x−10．解析：本题考查直线与圆位置关系，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．(1)化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，求得AM所在直线当斜率，由直线方程的点斜式得答案；(2)求出OA的斜率为2，设直线l的方程为y=2x+m，求出BC的长度，由点到直线的距离公式结合垂径定理求m，则直线方程可求．21.答案：解：(1)a=2时，f(x)=1x+4x，函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=−1x2+4，令f′(x)=−1x2+4=0，得x1=12,x2=−12(舍去)，当x变化时，f′(x)，f(x)的取值情况如下：所以，函数f(x)的极小值为f(12)=4，无极大值．(2)f′(x)=2−ax −1x2+2a=(2x−1)(ax+1)x2，令f′(x)=0，得x1=12,x2=−1a，当a=−2时，f′(x)≤0，函数f(x)的在定义域(0,+∞)单调递减，无增区间；当−2<a <0时，在区间(12,−1a )上，f′(x)>0，f(x)单调递增；当a <−2时，在区间(−1a ,12)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上：当−2<a <0时，f(x)的增区间为：(12,−1a )，当a <−2时，f(x)的单调增区间为：(−1a ,12)．解析：本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；(2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间． 22.答案：解：将{x =4+5cost y =5+5sint消去参数t ，化为普通方程为(x −4)2+(y −5)2=25， 即C 1 ：x 2+y 2−8x −10y +16=0， {x =ρcosθy =ρsinθ，代入x 2+y 2−8x −10y +16=0得，ρ2−8ρcosθ−10ρsinθ+16=0，即C 1的极坐标方程为ρ2−8ρcosθ−10ρsinθ+16=0，联立{ρ2−8ρcosθ−10ρsinθ+16=0ρ=2sinθ，解得：{θ=π4ρ=√2 或{θ=π2ρ=2， C 1与C 2的交点的极坐标为(√2, π4)和(2,π2)．解析：本题考查参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，属于基础题． 23.答案：解：(1)f(x)>3x ，即|x +4|+|x −4|>3x ．当x <−4时，不等式可化为−x −4+4−x >3x ，x <0，所以x <−4；当−4≤x ≤4时，不等式可化为x +4+4−x >3x ，所以−4⩽x <83；当x >4时，不等式可化为x +4+x −4>3x ，无解．综上，原不等式的解集为{x|x <83}．证明：(2)由绝对值不等式性质得，|x +4|+|x −4|≥|x +4−x +4|=8，∴z =8，则mn−2m−n=8，所以(m−1)(n−2)=10，所以m+n=(m−1)+(n−2)+3⩾2√10+3，当且仅当m=√10+1，n=√10+2时取“=”，原不等式得证．解析：本题考查绝对值不等式的解法及利用基本不等式证明的问题，属于中档题．(1)f(x)>3x，即|x+4|+|x−4|>3x，用零点分段法解此绝对值不等式；(2)由绝对值不等式性质得z=8，所以(m−1)(n−2)=10，再利用基本不等式即可证明．。