如答图，连接 DO， ∵DO=CO，∴∠1=∠2 . ∵DM=CM，∴∠4=∠3. ∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°. ∴直线 DM 与⊙O 相切．
【答案】（1）证明见解析；（2）当 MC=MD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与⊙O 相切，理由见解析. 【解析】
∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°. ∴∠DCB=∠A. （2）当 MC=MD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与⊙O 相切，理由如下：
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中考数学考点知识与题型专题讲解 专题 28 与圆有关的角
聚焦考点☆温习理解 一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相 等。 推论：在同圆 或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中 有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 4、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论 3：如果 三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
OD
∴ r − 2 = 1 ，解得 r =4， r2
∴OE=4-2=2， ∴ DE = OD2 − OE2 = 42 − 22 = 2 3 . ∴CD=2DE= 4 3 ．
考点典例三 圆周角与切线之间的关系 【例 3】（2016 海南省第 12 题）如图，AB 是⊙O 的直径，直线 PA 与⊙O 相切于点 A， PO 交⊙O 于点 C，连接 BC．若∠P=40°，则∠ABC 的度数为（ ） A．20° B．25° C．40° D．50°
D C
A
B
O
第 19 题图
【答案】(1)4;(2)详见解析. 【解析】
（2）证明：Q AC 是 ∠DAB 的角平分线，∴∠DAC = ∠BAC 又Q AD ⊥ DC,∴∠ADC = ∠ACB = 90° ∴∆ADC ∽ ∆ACB,∴∠DCA = ∠CBA 又QOA = OC ，∴∠OAC = ∠OCA Q∠OAC + ∠OBC = 90°,∴∠OCA + ∠ACD = ∠OCD = 90° ∴ DC 是⊙ O 的切线. 解法二（2）证明：Q AC 是 ∠DAB 的角平分线，∴∠DAC = ∠BAC
考点：1 切线；2 矩形的性质；3 勾股定理.
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考点典例四 与圆周角有关的证明
【例 4】（2016 湖北黄石第 19 题）（本小题满分 7 分）如图，⊙O 的直径为 AB ，点 C 在圆周上（异于 A, B ）， AD ⊥ CD .
（1）若 BC =3， AB = 5 ，求 AC 的值； （2）若 AC 是 ∠DAB 的平分线，求证：直线 CD 是⊙O 的切线.
A．20° B．40° C．50° D．70° 【答案】C. 【解析】
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试题分析：根据圆周角定理可得∠B=∠D=40°，∠ACB=90°，所以∠CAB=90°﹣40° =50°．故答案选 C． 考点：圆周角定理. 考点典例二、圆周角与垂径定理的关系 【例 2】（2016 内蒙古巴彦淖尔第 3 题）如图，线段 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠ CAB=40°，则∠ABD 与∠AOD 分别等于（ ）
A ． 40° ， 80° D．40°，100° 【答案】B． 【解析】
B ． 50° ， 100°
C ． 50° ， 80°
考点：圆周角定理；垂径定理．
【举一反三】
如图，在⊙O 中，CD⊥AB 于 E，若∠BAD=30°，且 BE= 3 ． 【解析】 试题分析：如答图，连接 OD，设⊙O 的半径为 r， ∵∠BAD=30°， ∴∠BOD=2∠BAD=60°. ∵CD⊥AB， ∴DE=CE. 在 Rt△ODE 中，OE=OB-BE=r-2，OD=r， ∵ cos∠EOD = cos60° = OE ，
名师点睛☆典例分类 考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.
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【例 1】（2016 山东济宁第 5 题）如图，在⊙O 中， = ，∠AOB=40°，则∠ADC 的度 数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15° 【答案】C. 【解析】
考点：圆周角定理. 【点睛】此题运用了圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【举一反三】 （2016 湖南娄底第 6 题）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，∠D=40°，则∠CAB 的度数为 （）
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【答案】B. 【解析】
【举一反三】
（2016 黑龙江哈尔滨第 18 题）如图，AB 为⊙O 的直径，直线 l 与⊙O 相切于点 C，AD⊥l，
垂足为 D，AD 交⊙O 于点 E，连接 OC、BE．若 AE=6，OA=5，则线段 DC 的长为
．
【答案】4. 【解析】 试题分析：令 OC 交 BE 于 F，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵AD⊥CD，∴BE∥CD， ∵CD 为⊙O 的切线，∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，∴四边形 CDEF 为矩形，∴CD=EF，在 Rt△ ABE 中， BE = AB2 − AE 2 = 8 ，∵OF⊥BE，∴BF=EF=4，∴CD=4．
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圆的性质QOA = OC ，∴∠OAC = ∠OCA ∴∠DAC = ∠OCA 即 AD ∥ OC ,又Q AD ⊥ DC ，∴OC ⊥ DC ∴ DC 是⊙ O 的切线 考点：圆周角定理；勾股定理；切线的判定. 【举一反三】 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D，连接 CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若 M 为线段 BC 上一点，试问当点 M 在什么位置时，直线 DM 与⊙O 相切？并说明 理由．