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(完整版)中考数学动点问题专题讲解

动点及动图形的专题复习教案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想:分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形,让学生经历探索的过程,以能力立意,考查学生的自主探究能力,促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况,需要理解图形在不同位置的情况,才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展.这些压轴题题型繁多、题意创新,目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等.从数学思想的层面上讲:(1)运动观点;(2)方程思想;(3)数形结合思想;(4)分类思想;(5)转化思想等.研究历年来各区的压轴性试题,就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向,它有利于我们教师在教学中研究对策,把握方向.只的这样,才能更好的培养学生解题素养,在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向.本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点.函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段,这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. 2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+= AEDCB 图2HM NGPOAB图1x y(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 如三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4()如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的(二)线动问题ABCO 图8HABCDEOlA ′ABCDE O lF 在矩形ABCD 中,AB =3,点O 在对角线AC 上,直线l 过点O ,且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形ABCD 的对称中心A '重合,求BC 的长; (2)若直线l 与AB 相交于点F ,且AO =41AC ,设AD 的长为x ,五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式,并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由. [题型背景和区分度测量点]本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到.第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容;当直线l 沿AB 边向上平移时,探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二. [区分度性小题处理手法]1.找面积关系的函数解析式,规则图形套用公式或用割补法,不规则图形用割补法.2.直线与圆的相切的存在性的处理方法:利用d=r 建立方程. 3.解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解](1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心∴A ’B =AA ’=21AC ∵AB =A ’B ,AB =3∴AC =6 33=BC(2)①92+=x AC ,9412+=x AO ,)9(1212+=x AF ,x x AE 492+=∴AF 21⋅=∆AE S AEFx x 96)9(22+=,x x x S 96)9(322+-= xx x S 968127024-+-= (333<<x )②若圆A 与直线l 相切,则941432+=-x x ,01=x (舍去),582=x ∵3582<=x ∴不存在这样的x ,使圆A 与直线l 相切.[.(例3:如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=4,OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分别在边AB 、AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A 、CAC D 重合,点E 不与B 、A 重合。

判断∆OEF 的形状,并加以证明。

判断四边形AEOF 的面积是否随点E 、F 的变化而变化,若变化,求其变化范围,若不变化,求它的值. ∆AEF 的面积是否随着点E 、F 的变化而变化,若变化,求其变化范围,若不变化,求它的值。

本题包容的内涵十分丰富,还可以提出很多问题研究:比如,比较线段EF 与AO 长度大小等(可以通过A 、E 、O 、F 四点在以EF 为直径的圆上得出很多结论)例8:如图,在矩形ABCD 中,AB=12cm ,BC=6cm ,点P 沿AB边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动;点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动。

如果P、Q同时出发,用t 秒表示移动的时间(0≤ t ≤6),那么:(1)当t 为何值时,三角形QAP 为等腰三角形?(2)求四边形QAPC 的面积,提出一个与计算结果有关的结论; (3)当t 为何值时,以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似?分析:(1)当三角形QAP 为等腰三角形时,由于∠A 为直角,只能是AQ=AP ,建立等量关系,t t -=62,即2=t 时,三角形QAP 为等腰三角形;(2)四边形QAPC 的面积=ABCD 的面积—三角形QDC 的面积—三角形PBC 的面积=6)212(211221612⨯--⨯⨯-⨯x x =36,即当P 、Q 运动时,四边形QAPC 的面积不变。

(3)显然有两种情况:△PAQ ∽△ABC ,△QAP ∽△ABC ,由相似关系得61262=-xx 或12662=-x x ,解之得3=x 或2.1=x 建立关系求解,包含的内容多,可以是函数关系,可以是方程组或不等式等,通过解方程、或函数的最大值最小值,自变量的取值范围等方面来解决问题;也可以是通过一些几何上的关系,描述图形的特征,如全等、相似、共圆等方面的知识求解。

例题 如图1,已知抛物线的顶点为A (2,1),且经过原点O ,与x 轴的另一个交点为B 。

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