矩阵的分解与正交阵之间的联系摘要：通过一个矩阵分解可分解成正交阵与某个矩阵的乘积引出关于矩阵的极分解定理，QR 分解定理，极值分解定理，奇异值分解定理等，并对它们进行了证明和扩充。

关键词：分解 矩阵 正交阵正文：今年来，在数学专业的考研试卷中，高代部分关于矩阵的分解的题目（利用它们来进行计算或证明某个特定问题）有增多的趋势。

学过矩阵论的人都知道，矩阵的分解主要有两大类，一类是矩阵的加法分解，一类是矩阵的乘法分解。

本篇着重讨论乘法分解中的几种特殊分解。

定义1： ()n n ij A a R ⨯=∈ , A A E '=, 则A 称为正交阵。

定义1'：()n n ij A a R ⨯=∈， ( I ) 112210i j i j in jn a a a a a a ⎧++=⎨⎩i j i j =≠ ,1,2,,,1,2,,i j n i j n ==( II ) 112210i j i j ni nj a a a a a a ⎧++=⎨⎩i j i j =≠ ,1,2,,,1,2,,i j n i j n ==(III) 1A A -'=在02年的厦大高代考研卷子中，就有矩阵的分解与正交阵结合起来的题目。

TH1：（02年高代试卷）设A 是可逆的n 阶实方阵。

求证：存在正交阵U ，正定阵T ，使A=UT ，且这个分解式是唯一的。

证明：A 可逆， ∴AA '正定 从而存在正定阵T ， 使2AA T '=121()[()]A A T A T TUT --''=== 即 1()U A T -'=则 1112111()()()()U U AT T A A T A A A A A E------''''''====现假设A 还有另一分解，即A=UT=US 则 1UU ST -'= ，U 为正交阵，而U 的特征值为实数且是正的111122221()()T S T T T S T --∴=可对角化 即 1E S T -= S T ∴=∴分解式是唯一的。

证明完毕。

上述定理1也称为矩阵的极分解定理，又极分解定理我们可以得到一个推论。

推论1：设A 是一个n 阶实可逆矩阵，A=PU 是极分解，其中P 是正定矩阵，U 是正交矩阵，则 AA A A PU UP ''=⇔=。

证明：（充分性）22()()()()AA PUU P PP P U UP U P PU PU PU A A '''''''=======； （必要性）AA A A ''= 22P U P U '∴=而2P 及U 均为正定矩阵知它们均有正定平方根 P 和U PU '而平方根是唯一的， P U PU '∴= U P P U ∴=。

TH2: 任一实满秩矩阵A 可分解成一个正交阵与一个主对角线元素都大于零的上三角阵之积，且这种分解是唯一的这个分解也称为矩阵的QR 分解。

证明：设12(,,,)n A ααα=，其中12,,,n ααα为A 的列向量A 为实满秩矩阵，12,,,n ααα∴线性无关，则可用施密特正交化方法，令11212211111(,)(,)(,)(,)n n i n ni i i i βααββαβββαββαβββ-==⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪⎪=-⎪⎩∑ (1) 其中(,)αβαβ'=再将i β单位化，令1i i ir ββ= ， 1,2,,i n = （2）则12,,,n r r r 为标准正交基，而12(,,,)n U r r r =为正交阵由（1）（2）解出i α，得1111212(,,,)(,,,)0n n n nn t t A r r r UT t ααα⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中1110n nn t t T t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为上三角阵 且0ii i t β=>为正实数再证唯一性：设还有正交阵1U 及对角线元素为正实数的上三角阵1T ，使11A U T =，下证： 11,U U T T ==令11B U U -=，则1111B U U TT --==，则B 既是正交阵又是上三角矩阵 即B 为对角矩阵，但T 与11T -的主对角线元素为正实数，从而1(,,),n B diag b b = 0,i b > 1,,i n =而由B 是正交阵，B E ∴= 即 1111E U U TT --== 1,U U ∴= 1T T = 证明完毕。

例1、 将102110123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦分解为正交矩阵与上三角矩阵之积。

解：令123(,,)A ααα=，其中i α为A 的列向量，对123,,ααα用施密特正交化方法得到正交向量123,,βββ 即 12312371161(,,)(,,)012001βββααα⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在单位化得 12,,,n r r r 即1212300(,,,)(,,)000n r r r βββ⎤⎥⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎢⎢⎣令0Q ⎤⎥⎢=⎥⎢⎥⎥⎦ ，000R ⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎣则Q 为正交矩阵，R 为上三角矩阵，并且A QR =。

注：可见，在掌握QR 分解定理时，对起证明的思路及步骤也必须熟练掌握。

这样，在求矩阵A 的QR 分解时才能用到。

例2、（华中师大1994，1996）设A 是n 阶实可逆阵，证明：存在n 阶正交阵P 和 Q ，使100n a PAQ a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭， 其中0(1,2,,)i a i n >= 且 22212,,,na a a 为A A '的全部特征值。

证明：由定理1知，存在正交阵C 和B ，使A=BC （1）其中B 的特征值 12,,,n a a a 均为正，且22212,,,na a a 为A A '的全部特征值， 由B 为正定阵，从而存在正交阵T ，使得100n a B T T a ⎛⎫⎪'=⎪ ⎪⎝⎭（2） 将（2）代入（1）得 1()00n a A CT T a ⎛⎫⎪'=⎪ ⎪⎝⎭11()00n a CT AT a -⎛⎫⎪''∴=⎪ ⎪⎝⎭， 即 100n a PAQ a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3） 其中1()P CT -'=， Q T '=均为正交阵。

注：我们可以将（3）改写为 100n a A P Q a ⎛⎫⎪''=⎪ ⎪⎝⎭， 这就是A 的一个分解即实可逆阵表示为（正交阵）（正定阵）（正交阵）之积。

例3、（浙江大学，天津师范大学）设A 为m n ⨯实矩阵，秩A=r ，则矩阵000D A P Q ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦，其中P ,Q 分别为m 阶和n 阶的正交矩阵，而12(,,,)r D diag a a a =，0i a > 1,2,,i r =。

证明：由题意知： AA '不是正定阵 (())r A r =从而存在正交阵P, 使 21200n AA P P λλ⎛⎫⎪''=⎪ ⎪⎝⎭（1） 又 ()()r r A r AA '== 不失一般性，不妨设222120r λλλ≥≥≥>，10r m λλ+===令 i i d λ= (1,2,,)i r =， 由（1）得 2000D AA P P ⎡⎤''=⎢⎥⎣⎦（2） 将P 分快，令[]12P P P =[]21212112000P D AA P P PD P P '⎡⎤⎡⎤''∴==⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦ (3)由于P 为正交阵， 1r P P E '∴=，用1P '左乘，1P 右乘（3）式两端得 211()P AA PD ''= （4） 令 111V D P A -''=，则 1V 为 r m ⨯ 实矩阵，且111111()()r V V D P A D P A E --''''== （5）[]1121122P E PP P P PP PP P '⎡⎤'''===+⎢⎥'⎣⎦122111111()E P P A PP A PDD P A PDV -''''-=== （6）由（6）得 1122A P D V P PA ''=+（7） 由于 ()r P A r '= 0P A X '∴= 有m r -个线性无关的解，将它们正交单位化后构造()m m r ⨯- 矩阵2V ，这样由 20P AV '= ，可得 122200P AV P AV ⎧'⎪=⎨'=⎪⎩ (8)(9)但 22V V E '= ，令 12(,)Q V V = 由于 112120V V D P AV -''==从而 Q 为正交阵，并（3）（8）式11212121212111()0P AV P A D P A P AA PP P PP P PD ---''''''''==== 1(0)P P '=由（9）式得 111221220()(,)00P D P AQ PDV P P A V V P ⎡⎤⎡⎤'''=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（10）其中 12(,,,)n D diag d d d = 0i d > (1,2,,)i r =由（10）知 000D A P Q ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦。

（证法二）由假设，存在m 阶与n 阶可逆矩阵T,S ,使 000rE A T S ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对T ，S '作QR 分解，1T PR =，1S Q L ''= 其中1P ，1Q 分别为m 阶与n 阶正交矩阵，R ，L 分别为非奇异的正三角矩阵与下三角矩阵，则1211111132300000000rR R L E R L A P Q P Q R L L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤''==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1） 其中1R 为R 的r 阶顺序主子阵，1L 为L 的r 阶下三角顺序主子阵，所以 11R L 是r 阶可逆矩阵，因而存在正交矩阵2P ，2Q '使 211212()(,,,)r P R L Q diag a a a '= （2）其中0i a > 1,2,,i r =。