青海省大通县2020～2021学年度第一学期期末联考高一数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域．．．．．．书写的答案无效．．．．．．．，．在试题卷．．．．、．草稿纸上作答无效．．．．．．．．。

4．本卷命题范围：人教版必修1，必修4。

一、选择题：本题共12小题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．13πcos6=（ ）A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 2．设全集U 为实数集R ，已知集合{}3A x x =≥，{}03B x x =<<，则()UA B ⋃=（ ）A ．(),0-∞B ．()()0,33,⋃+∞C ．(],0-∞D ．(]{},03-∞⋃3．函数()π2sin 24x x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的对称轴方程为（ ）A ．3ππ82k x =+（k ∈Z ）B ．ππ8x k =+（k ∈Z ） C ．ππ42k x =+（k ∈Z ）D ．ππ82k x =+（k ∈Z ）4．已知a ，b 为单位向量，且a ，b 的夹角为π3，则2a b -=（ ）A ．1BC D ．25．函数()25log 2x x x f =-+的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,56．计算：123log 279-+=（ ）A ．23-B ．0C ．103 D ．2837．已知扇形的弧长为3π2，圆心角为π2，则该扇形的面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π2 D ．9π48．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()34x f x =+，则()()10f f -+=（ ）A ．7-B ．7C ．1-D ．19．已知函数()()sin A x f x ωϕ==+（0A >，0ω>，π2ϕ≤）的图象如图所示，则()f x =（ ）A ．π2sin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．π2sin 26x ⎛⎫+⎪⎝⎭ C ．π2sin 23x ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．π2sin 23x ⎛⎫+⎪⎝⎭10．函数()22xf x x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知ABC △外接圆圆心为O ，G 为ABC △所在平面内一点，且0GA GB GC ++=．若52AB AC AO +=，则sin BOG ∠=（ ） A ．12 B ．14C．4D．812．已知函数()224,0,log ,0,x x x x f x ⎧->=+≤⎪⎨⎪⎩存在a b c <<，使得()()()f a f b f c ==，现有以下三个结论：①1bc =；②116c <<；③20abc -<≤．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 二、填空题：本题共4小题． 13．函数()tan f x x =在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为__________．14．设函数()4,0,2,0,x x x x f x -≤⎧=⎨>⎩则()()1f f -=__________．15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，若()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()41f =，则满足()351f a ->的a 的取值范围是__________． 16．已知函数()ππ1sin 36x f x ⎛=⎫-+⎪⎝⎭，则()()()()1232020f f f f +++⋅⋅⋅=__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知集合1393x A x⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，{}2B x x a x a =<>+或． （1）当1a =-时，求A B ⋂；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围． 18．已知sin 13sin cos ααα=-．（1）若α为锐角，求4πcos 3α⎛⎫+⎪⎝⎭； （2）求πtan 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭．19．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()2,1a =． （1）若25c =，且//c a ，求向量c 的坐标；（2）若()1,b m =（m ∈R ），且()a ab ⊥+，求a 与b 的夹角θ的余弦值． 20．已知函数()()()log 22log 4a a f x x x =-++，其中1a >．（1）求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的最大值为2，求a 的值．21．已知向量()sin ,cos x m a x =-，()cos ,cos b x x =，函数()2f x a b m =⋅+（m ∈R ）．（1）若1m =，求()f x 的单调减区间；（2）若m =()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值． 22．定义在区间D 上的函数()f x ，如果对于任意的x 属于D ，存在常数m ，M 使得()m f x M ≤≤，则称()f x 是区间D 上的有界函数．其中m 称为()f x 在区间D 上的下界，M 称为()f x 在区间D 上的上界．已知函数()1221x x f x a ++-=（()0,x ∈+∞，0a ≥）．（1）若1a =，试判断()f x 在区间[]1,2上是否为有界函数？（2）若函数()()2x f x g x =在[]1,2上是以a 为下界的有界函数，求实数a 的取值范围．青海省大通县教学研究室2020～2021学年度第一学期 期末联考·高一数学参考答案、提示及评分细则1．A 13π3cosπcos 2πcos 6662π⎛⎫=+==⎪⎝⎭．故选A ．2．C 由{}3A x x =≥，{}03B x x =<<，∴()0,A B ⋃=+∞．画出数轴可知，()(],0U A B ⋃=-∞．故选C ．3．D 结合正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足ππ2π42x k +=+（k ∈Z ），解得对称轴方程为ππ82k x =+（k ∈Z ）．故选D ． 4．C ()2223a b a b -=-=．故选C ．5．B 易知()f x 是增函数，因为()251log 202224f -=-<+=，()2log 1033f ->=，所以()()230f f <，根据零点存在性定理，可知()f x 的零点所在的大致区间是()2,3．故选B ．6．A 原式121123434339=+-=+-=-．故选A ．7．D 扇形的圆心角3ππ22l r r θ===，所以3r =，则扇形的面积113π93π2224S lr ==⨯⨯=．故选D ．8．A 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =．又()()()111347f f -=-=-+=-，所以()()10707f f -+=-+=-．故选A ．9．A 由图知2A =，π5π332π31244T ω⎛⎫--==⋅ ⎪⎝⎭，所以2ω=．又π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2π2sin 23ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而π2π6k ϕ=-．因为π2ϕ≤，所以π6ϕ=-．故选A ． 10．D 函数()22xf x x =-+为偶函数，故A 错误；()1121f =-+=，故B 错误；当x 无限增大时，2x增长得比2x 快，所以()0f x >，故C 错误．故选D ．11．C 取BC 的中点D ，由0GA GB GC ++=知G 为ABC △的重心，则()1233AG AB AC AD =+=，而()2455AB AC A AD O +==，所以A ，G ，O ，D 四点共线，所以AB AC =．不妨令5AD =，则4AO BO ==，1OD =，所以sin sin 4BD BOG BOD BO ∠=∠==．故选C ． 12．B 作直线y m =与函数()f x 的图象交于三个点，从左向右横坐标依次为a ，b ，c ．由于0x ≤时，()f x 的最大值为4，因此()4f c ≤，即2log 4≤，且由图可知，1c >，所以116c <≤，故②错误；由图象可知，22log log b c -=，所以1bc =，故①正确；由图象可以得到20a -<≤，所以20abc -<≤，故③正确．故选B ．13．1 ∵函数()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴其最大值为π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．．14．32 因为()15f -=，所以()()()515232f f f -===．15．1,33⎛⎫⎪⎝⎭由条件知，函数()f x 在(),0-∞上单调递增，且()41f -=，所以要使()351f a ->成立，则4354a -<-<，解得133a <<．16．2020 易知函数()ππ1sin 36f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期6T =，而()()()()1234f f f f +++()()()()1111111111115662222f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+--+--+--+-=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎣⎦++，由周期可知，这样连续六项的和均为6，而()()()()1232020f f f f +++⋅⋅⋅共有2020项，是6的336倍再加4项，则()()()()()()()()()112320203366123420161112f f f f f f f f ⎛⎫+++⋅⋅⋅=⨯++++=+-+-+⎪⎝⎭()111120202⎡⎤⎛⎫--+--=⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦．17．解：（1）由12333x -<≤，得12x -<≤，所以集合{}12A x x =-<≤； 当1a =-时，{}11B x x x =<->或，所以{}12A B x x ⋂=<≤． （2）由A B B ⋃=，得A B ⊆，所以2a >或21a +≤-，解得2a >或3a ≤-． 故当A B B ⋃=时，实数a 的取值范围是(](),32,-∞-⋃+∞．18．解：由sin 13sin cos ααα=-，得cos 2sin αα=．（1）由22cos 2sin ,sin cos 1,αααα=⎧⎨+=⎩解得sin ,5cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin 5cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵α为锐角，∴sin α=，cos α=． ∴4πππcos cos πcos 333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ππcos cos sin sin 33αα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭15252=-+⨯=．（2）由cos 2sin αα=，得1tan 2α=，则22122tan 42tan 21tan 3112ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴41πtan 213tan 27441tan 213ααα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-．19．解：（1）设(),c x y =，由25c =，//c a ，可得2220,20,x y x y -=⎧⎨+=⎩ 所以4,2,x y =-⎧⎨=-⎩故4,2,x y =⎧⎨=⎩故()4,2c =--或()4,2c =．（2）因为()3,1a b m +=+，由()a ab ⊥+， 所以()()23110a m a b ⨯=⋅++⨯=+， 所以7m =-，故()1,7b =-， 因为5a =，52b =，所以1217cos 105a b a bθ⨯+⨯-⋅===-． 20．解：（1）要使函数有意义，则有220,40,x x ->⎧⎨+>⎩解得41x -<<，所以函数()f x 的定义域为()4,1-．（2）函数可化为()()()log 22log 4a a f x x x =-++()22325268log 22lo 2g a a x x x ⎡⎤⎛⎫--+=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢=⎥⎣⎦，因为141x -<<，所以23252502222x ⎛⎫<-++≤⎪⎝⎭． 因为1a >，所以232525log 2log 222a a x ⎡⎤⎛⎫-++≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即()max 25log 2af x =，由25log 22a =，解得2a =． 21．解：()2sin cos cos x x m x f x =-()2sin 22cos 1sin 2cos2x m x x m x =--=-，（1）∵1m =，∴()πsin 2cos 224x x x f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+，k ∈Z ，得3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ． ∴函数()f x 的单调区间为3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．（2）当m =()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后得到的图象对应的函数为()π2sin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当ππ266x -=-，即0x =时，()g x 取最小值1-； 当ππ262x -=，既π3x =时，()g x 取最大值2．22．解：（1）当1a =时，()12121x x f x ++=-，设1212x x ≤<≤，则()()1212111221212121x x x x x f x f ++++-=---()()()()()()12211211212121212121x x x x x x+++--+-=--())()(21121322221x x x x--=-． 因为12x x <，所以2122x x>，即()()120f x f x ->，所以()f x 在[]1,2上单调递减，所以()()max 15f x f ==，()()min 23f x f ==，则()35f x ≤≤，所以函数()f x 在[]1,2上有界函数．（2）由题意得，对于任意[]1,2x ∈，()22f x a ≥⋅，即12221x x xa a ++≥⋅-对于[]1,2x ∈恒成立， 即()()22220xxa a a -+-≤对于[]1,2x ∈恒成立．令2x t =（[]2,4t ∈），则()()220g t at a t a =-+-≤（[]2,4t ∈）恒成立．①0a =时，()2gt t =-，[]2,4t ∈时，20t -<，符合题意；②0a ≠时，()()20,40,g g ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩得()()4220,16420,a a a a a a -+-≤⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩所以811a ≤．综上所述，实数a 的取值范围为0811a ≤．。