江苏省昆山中学2020-2021学年第二学期3月月考高一数学一､选择题(每题5分共40分)1.已知函数()44sin cos f x x x =-的最小正周期是（ ）A.2πB.πC.2π D.4π 2.若平面向量b 与向量()1,2a =-的夹角是180,且35,b =则b =（ ） A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) 3.1tan151tan15-+的值为（ ）A.13B.3D.14.已知点O 为ABC 所在平面内一点，若动点P 满足()()0OP OA AB AC λλ=++，则点一定P 经过ABC 的（ ）A.外心B.内心C.垂心D.重心5.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos a b C =，则ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形6.ABC 的外接圆的圆心为,2,O AB AC ==则AO BC ⋅等于（ ）A.94-B.94C.12-D.12 7.已知3,24ππβα<<<若()()123cos ,sin 135αβαβ-=+=-，则sin2β=（ ） A.13 B.13- C.5665D.1665- 8.在ABC 中，点O 是BC 的三等分点，2OC OB =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于点,E F ，且,(0,0)AB mAE AC nAF m n ==>>，若1t m n+的最小值为83，则正数t 的值为（ ）A.1B.2C.83 D.113二､多选题(每题5分，共20分，选对一个答案得3分，选错得零分)9.在水流速度为10km/h 的自西向东的河中，如果要使船以的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ）A.北偏西30°B.北偏西60°C.20km/hD.30km/h10.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A.a ba b ⋅B.若a b c b ⋅=⋅且0,b ≠则a c =C.//,//a b b c ，则//a cD.若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向11.对于函数()sin f x x x =，给出下列选项其中不正确的是（ ） A.函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()1f α= C.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使函数()f x α+的图象关于y 轴对称 D.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()3f x f x αα+=+恒成立 12.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设ABC 中，点O ､H ､G 分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ） A.2GH OG =B.0GA GB GC ++=C.OH OA OB OC =++D.OA OB OC ==三､填空题(每题5分共20分，16题为3+2=5分)13.已知向量()()1,2,1,1a b ==，若a 与a tb +的夹角为锐角，则实数t 的取值范围是__________.14.已知2παβπ<<<，且510sin ,sin 510αβ==，则αβ+=__________. 15.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22()4,60a b c C +-==，则ABC 的面积为__________.16.在ABC 中，2,3,120,AB AC BAC D ∠===是BC 中点，E 在边AC 上，1,,2AE AC AD BE λ=⋅=则AD =__________；λ的值为__________.四､解答题(本题70分)17.(本题共10分)已知向量()()()1,2,,2,3,1OA OB m OC ==-=-，O 为坐标原点. （1）若,AB AC ⊥求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求ABC 的面积. 18.(本题共12分)如图，在ABC 中，,83B AB π∠==，点D 在边BC 上，且12,cos 7CD ADC ∠==.（1）求sin BAD ∠； （2）求,BD AC 的长. 19.(本题共12分)（1）求值：()cos20tan203sin40-⋅（2）证明：()()21tan 31sin21tan 312sin x xx xππ+--=---.20.(本题共12分)如图，BD 是平面四边形ABCD 的一条对角线，已知AB DB AD BD ⋅=⋅，且AB AD DB +=（1）求证:ABD 为等腰直角三角形：（2）若2,1BC CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值. 21.(本题共12分)如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角3POQ π∠=，A 是半径OP 上的动点，矩形ABCD 内接于扇形OPQ ，且.OA OD =（1）若,BOP ∠α=求线段AB 的长； （2）求矩形ABCD 面积的最大值. 22.(本题共12分) 已知函数()()2123cos2sin 12sin ,22224x f x x x g x x π⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）对任意的[]12,0,,x x t ∈当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值； （2）在满足（1）的条件时，若方程()()()()12210a f x g x f x g x ⎡⎤⋅-+-+-=⎣⎦在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，求实数a 的取值范围.江苏省昆山中学2020-2021学年第二学期3月月考高一数学一､选择题(每题5分共40分)1.已知函数()44sin cos f x x x =-的最小正周期是（ ）A.2πB.πC.2πD.4π 【答案】B2.若平面向量b 与向量()1,2a =-的夹角是180,且35,b =则b =（ ） A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) 【答案】A3.1tan151tan15-+的值为（ ）A.13D.1 【答案】B4.已知点O 为ABC 所在平面内一点，若动点P 满足()()0OP OA AB ACλλ=++，则点一定P 经过ABC 的（ ）A.外心B.内心C.垂心D.重心 【答案】D5.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos a b C =，则ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【答案】A6.ABC 的外接圆的圆心为,2,O AB AC ==则AO BC ⋅等于（ ） A.94-B.94C.12-D.12【答案】C7.已知3,24ππβα<<<若()()123cos ,sin 135αβαβ-=+=-，则sin2β=（ ）A.13B.13-C.5665D.1665- 【答案】D8.在ABC 中，点O 是BC 的三等分点，2OC OB =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于点,E F ，且,(0,0)AB mAE AC nAF m n ==>>，若1t m n+的最小值为83，则正数t 的值为（ ）A.1B.2C.83D.113【答案】B二､多选题(每题5分，共20分，选对一个答案得3分，选错得零分)9.在水流速度为10km/h 的自西向东的河中，如果要使船以的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ）A.北偏西30°B.北偏西60°C.20km/hD.30km/h 【答案】AC10.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A.a ba b ⋅B.若a b c b ⋅=⋅且0,b ≠则a c =C.//,//a b b c ，则//a cD.若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向 【答案】AD11.对于函数()sin f x x x =，给出下列选项其中不正确的是（ ） A.函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()1f α= C.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使函数()f x α+的图象关于y 轴对称 D.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()3f x f x αα+=+恒成立 【答案】ABD12.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设ABC 中，点O ､H ､G 分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ） A.2GH OG =B.0GA GB GC ++=C.OH OA OB OC =++D.OA OB OC == 【答案】ABC三､填空题(每题5分共20分，16题为3+2=5分)13.已知向量()()1,2,1,1a b ==，若a 与a tb +的夹角为锐角，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】()5,00,3∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭14.已知2παβπ<<<，且sin αβ==αβ+=__________. 【答案】74π 15.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22()4,60a b c C +-==，则ABC 的面积为__________.【答案】316.在ABC 中，2,3,120,AB AC BAC D ∠===是BC 中点，E 在边AC 上，1,,2AE AC AD BE λ=⋅=则AD =__________；λ的值为__________.【答案】2；13 四､解答题(本题70分)17.(本题共10分)已知向量()()()1,2,,2,3,1OA OB m OC ==-=-，O 为坐标原点. （1）若,AB AC ⊥求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求ABC 的面积.【解析】（1）向量()()()1,2,,2,3,1,OA OB m OC AB OB OA ==-=-∴=-=()()1,4,4,1m AC OC OA --=-=--若,AB AC ⊥则()()1,44,14440,AB AC m m ⋅=--⋅--=-+=求得 2.m = （2）当2m =时()(),1,4,4,1,AB AC AB AC =-=--⊥ABC 的面积为11171717.222AB AC ⋅=⋅⋅= 18.(本题共12分)如图，在ABC 中，,83B AB π∠==，点D 在边BC 上，且12,cos 7CD ADC ∠==.（1）求sin BAD ∠； （2）求,BD AC 的长. 【解析】（1）在ABC 中，1cos 7ADC ∠=， 2214843sin 1cos 1749ADC ADC ∠∠⎛⎫∴=-=-== ⎪⎝⎭则()431sin sin sin cos cos sin 2BAD ADC B ADC B ADC B ∠∠∠∠∠=-=⋅-⋅=- 13337214⨯=（2）在ABD 中，由正弦定理得338sin 143sin 43AB BAD BD ADB ∠∠⋅===， 在ABC 中，由余弦定理得2222212cos 852852AC AB CB AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯⨯49=，即7AC =19.(本题共12分)（1）求值：()cos20tan203sin40-⋅（2）证明：()()21tan 31sin21tan 312sin x xx xππ+--=---.（1）原式sin20cos20sin203cos20cos203cos20sin40cos20sin40⎛⎫-=-⋅=⋅=⎪⎝⎭.()2sin 20602sin402sin40sin40-=-=-.（2）左边()()sin 11tan 1tan cos sin cos sin 1tan 1tan cos sin 1cos xx x x x x x x x x xx-+---====--+++， 右边()()22222(cos sin )(sin cos )(cos sin )cos2cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x x x x ---====--+ cos sin cos sin x x x x-+则左边=右边，即等式成立. 20.(本题共12分)如图，BD 是平面四边形ABCD 的一条对角线，已知AB DB AD BD ⋅=⋅，且AB AD DB +=（1）求证:ABD 为等腰直角三角形：（2）若2,1BC CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值.【解析】（1）证明:,0AB DB AD BD AB DB AD DB ⋅=⋅∴⋅+⋅= 即()()220,,AB AD AB AD AB AD +⋅-=∴=即AB AD =又222,()()AB AD DB AB AD DB AB AD +=∴+==-整理得0,,AB AD AB AD ⋅=∴⊥即,2A π=ABD ∴是等腰直角三角形（2）设,C θ=可得241221cos 54cos ,BD θθ=+-⨯⨯⨯=-则四边形ABCD 的面积2111521sin sin cos 2224ABDCBDS SSBD θθθ=+=⨯+⨯⨯⨯=-+ 52sin 44πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()0,,θπ∈∴当34πθ=时，S 取得最大值524+. 21.(本题共12分)如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角3POQ π∠=，A 是半径OP 上的动点，矩形ABCD 内接于扇形OPQ ，且.OA OD =（1）若,BOP ∠α=求线段AB 的长； （2）求矩形ABCD 面积的最大值.【解析】（1）若,BOP ∠α=求线段AB 的长； （2）求矩形ABCD 面积的最大值3POQ π∠=且OA OD =AOD ∴为等边三角形，,3DAO π∠∴=又四边形ABCD 为矩形，,26DAB BAP ππ∠∠=∴=在扇形OPQ 中，半径1OP =.过B 作OP 的垂线，垂足为Nsin sin BN OB αα∴==在ABN 中,2sin sin sin 6BN BN AB BAP απ∠=== （2）矩形ABCD 面积,S AB AD =设,BOP ∠α=由（1）可知2sin ,AB BN α==sin ,cos cos ,cos 6ON OB AN AB παααα====cos OA ON AN αα∴=-=()2sin cos sin2ABCD S AB AD AB OA ααααα=⋅=⋅==扇2sin 23πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0,,2,333πππααπ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当2,32ππα+=即12πα=时，矩形ABCD 面积取最大值，最大值为2-22.(本题共12分)已知函数()()213cos2sin 12sin ,2224x f x x x g x x π⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）对任意的[]12,0,,x x t ∈当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值；（2）在满足（1）的条件时，若方程()()()()12210a f x g x f x g x ⎡⎤⋅-+-+-=⎣⎦在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，求实数a 的取值范围.【解析】（1）()2111cos2sin 12sin cos2sin cos cos22222x f x x x x x x x ⎛⎫=+⋅-=+⋅=+ ⎪⎝⎭1sin22224x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<- 令()()(),h x f x g x =-则()3sin 2sin 22242424h x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin2,4x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为()()12,h x h x <所以()h x 在[]0,t 上单调递增, 因为()h x 的增区间为,,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦所以,4t π所以t 的最大值为4π （2）()()()()()()()21112210211h x a f x g x f x g x a h x h x +⎡⎤⋅-+-+-=⇒==-⎣⎦++，即2a = 1sin21x -+在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，因为31sin21,2x a -<<∴<。