必须要会做作业题1、（10分）载有电流的I 长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直。

半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a 。

设半圆环以速度 v 平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN 两端的电压U M - U N 。

解：动生电动势⎰⋅⨯=MNd )v (lB MeNε为计算简单，可引入一条辅助线MN ，构成闭合回路MeNM , 闭合回路总电动势0=+=NM MeN εεε总MN NM MeN εεε=-= 2分x x I l B b a ba MNd 2v d )v (0MN ⎰⎰⋅+-π-=⨯=μεb a b a I -+π-=ln 20v μN负号表示MNε的方向（N →M ） 4分 b a b a I MeN-+π-=ln2v 0με方向N →M 2分ba ba I U U MN N M -+π=-=-ln2v0με 2分2、（10分）两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2，相距为d ，其电荷线密度分别为1λ和2λ，则场强等于零的点与直线1相距为多少？解： （1） 作以带正电直线为中心轴、横截面半径为r 、高为l 的封闭圆柱形高斯面。

由高斯定理00εq S d E s=∙⎰⎰ 得：02ελπl l r E =⨯⨯故无限长均匀带电直线的场强为5分 （2） 设场强等于零的点与直线1的相距为x ，则0)(220201=--=x d x E πελπελrE 02πελ=211λλλ+=d x 5分4、（10分）如图，一半径为R 的均匀带电圆环，电荷总量为q 。

（1）求轴线上离环中心O 为x 处的场强E (已知q 、R 、 x)（2）轴线上什么地方的场强最大？其值是多少？(已知q 、R)解： （1）设圆环轴线为x 轴，204r dqdE πε=dlR qdl dq πλ2==由于对称性整个圆环在P 点处的电场沿x 方向,⎰αcos E d E =2122)(cos x R r rx +==ααππεπcos 241220r l d R q E R⎜⎠⎛=1qx απεcos 4120r q=6分（2）4分5、（10分）如图所示，球形金属腔带电量为Q>0，内半径为a ，外半径为b ，腔内距球心O 为r 处有一点电荷q ，求球心O 的电位。

（提示：金属腔内表面带的总电量为q -）ix R xq E 23220)(4+=πε时0=dxdE2R x=2023220max 362(42R q R R qRE E πεπε=+==解: 金属腔内表面a S 带总电量为q -，由电荷守恒，金属腔外表面b S 带电量为Q q +2分∴ 球心电位0q q Q qu u u u-+=++ ⎰⎰++=b dsa ds r qb a 000444πεσπεσπε4分000444q qQ qr a b πεπεπε-+=++0011144q Q r a b b πεπε⎛⎫=-++⎪⎝⎭ 4分6、（10分）如图所示，AB 、CD 为长直导线，BC 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R 。

若通以电流I ，求O 点的磁感应强度。

解：如题图所示，O 点磁场由AB 、C B、CD 三部分电流产生．其中AB产生01=B 3分CD 产生RIB 1202μ=，方向垂直向里3分CD 段产生)231(2)60sin 90(sin 24003-πμ=-πμ=︒︒R I R I B ， 或)231(2)180cos 150(cos 24003-=-=︒︒R I R IB πμπμ 方向垂直向里3分∴)6231(203210ππμ+-=++=R I B B B B ，方向垂直向里． 1分7、（10分）如图所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面。

且导线框的一个边与长直导线平行，它到两长直导线的距离分别为r 1、r 2, 已知两导线中电流都为I=I 0sinωt ，其中I o 和ω为常数，t 为时间。

导线框长为a 宽为b ，求导线框中的感应电动势。

解：两个载同向电流的长直导线在如图所示坐标x 处所产生的磁场为01211()2B x x r r μπ=+-+ 2分 选顺时针方向为线框回路正方向，则：1111012(2r br br r Iadx dx BdS xx r r μφπ++==+-+⎰⎰⎰3分01212ln(2Ia r b r b r r μπ++=⋅） 2分01212()()ln[]2a r b r b d dI dt r r dt μφεπ++=-=-001212()()ln[]cos 2I a r b r b tr r μωωπ++=- 3分1．求一均匀带电球体的场强和电势分布，并画出)(r E E =和)(r ϕ=ϕ曲线。

设球的半径是R ，带电量为Q 。

（12分）解：若电球体的电荷休密度为334R Q π=ρ根据高斯定理0Sq E dS ε⋅=⎰当R r <时，在球内取同心球面作高斯面得33021343414r R Q r E π⋅πε=πre R QrE ˆ4301πε= 当R r >时，在球外取同心球面作高斯面得r erQ E ˆ4202πε=()r E E =的曲线如图1所示根据电势与场强的积分关系得 当r<R⎰⎰∞⋅+⋅=ϕRRrrd E r d E 211∞πε-πε=R R r r Q r R Q |1ln 4|2140230 R QR Qr R Q 03020488πε+πε-πε=3020883R Qr R Q πε-πε= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-πε=32038R r R QEϕ当r>R∞∞πε-=⋅=ϕ⎰rrr Q r d E |14022r Q04πε=()r ϕϕ=的曲线如图2所示2、 一圆柱形的长直导线,截面半径为R ，稳恒电流均匀通过导线的截面，电流为I ，求导线内和导线外的磁场分布。

（12分）解：假定导线是无限长的，根据对称性，可以判定磁感强度B的大小只与观察点到圆柱体轴线的距离有关，方向沿圆周的切线，如图3所示。

在圆柱体内部，以r R <为半径作一圆，圆心位于轴线上圆面与轴线垂直。

把安培环路定理用于这圆周，有图3在圆柱体外部，以 为半径作一圆，圆心亦位于轴线上，把安培环路定理用于这一圆周有圆柱体内外磁感强度B 分布规律如图所示。

3、半径分别为1R 和2R 的两个同心球面都均匀带电，带电量分别为1Q 和2Q ，两球面把空间分划为三个区域，求各区域的电势分布并画出r -ϕ曲线。

（12分）解：根据高斯定理0ε=⋅⎰⎰qS d E S ；得三个区域如图所示，场强变化规律是0=I E21041r Q E II πε=221041r Q Q E III +=πε根据电势与场强的积分关系式得图r R >022rB I R μπ=02C B dl B r I πμ⋅=⋅=⎰022rB I R μπ=2200222C I r B dl B r r I R R πμπμπ⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰∞++=⋅=2211321R R R R rI drE dr E dr E r d E ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-πε=22212211041R Q R Q R Q R Q ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+πε=2211041R Q R Q⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+=⎰⎰∞22212110324122R Q R Q R Q r Q dr E dr E R R r II πεϕ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+πε=221041R Q r Q r Q Q dr E r III02134πεϕ+==⎰∞电势分布曲线如图所示图4、同轴电缆由一导体圆柱和一它同轴的导体圆筒所构成。

使用时，电流I 从一导体流入，从另一导体流出，设导体中的电流均匀地分布在横截面上。

圆柱的半径为r 1，圆筒的内外半径分别为r 2和r 3，试求空间各处的磁感应强度。

（12分） 解：根据对称性和安培环路定理得：当：0≤r ≤r 12102210222r IrB r r I r B l d B πμ=π⋅π⋅μ=π⋅=⋅⎰当：r 1≤r≤r 2同理：I r B 02μ=π⋅ r I B πμ=20 当：r 2≤r≤r 3 222322302222223022r r r r r I B r r r r I I r B --⋅πμ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π⋅-π-μ=π⋅）（（当：r>r 3 B = 05、半径为R 的无限长直圆柱体内均匀带电，体电荷密度为ρ，求场强和电势的分布（以圆柱体的中心轴线作为电势的零参考点），并画出)(r E E =和)(r ϕ=ϕ曲线。

（12分）12《电磁学》期末考试试卷（A 卷）第 11 页 共 6 页解：由对称性和高斯定理，求得圆柱体内外的场强为r<R 02112ε⋅π⋅ρ=⋅⋅π=⋅⎰⎰l r E l r S d Ere r E 012ερ= r>R 02222ε⋅π⋅ρ=⋅⋅π=⋅⎰⎰l R E l r S d E 图 re r R E 0222ερ=场强的变化规律如图所示，由电势与场强的 关系求得圆柱体的内外的电势为r<R 020001|42rr r e rdr e r d E ε-=ε-=⋅=ϕ⎰⎰204rερ=图200200020224ln 222Rr R R dr r dr r R Edr dr E R RrRrRερερερερϕ+-=--=--=⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+περ=R r R ln 21402电势的变化规律如图所示6、如图所示，两个均匀带电的金属同心球壳，内球壳半径为1R ，带电1q ，外球壳半径为2R ，带电2q ，试求两球壳之间任一点12()P R r R <<的场强与电势？(12分)解： 由高斯定理 ⎰⎰∑=⋅sq S d E 0ε，选择半径为r 的球面为高斯面， 则24q E rπε∙=∑，当12R r R <<时，1q q =∑，1304q E r rπε=，121200244q q U U U rR πεπε=+=+=12214()q q r R πε+。

7、一半径为R 的均匀无限长圆柱载流直导线，设其电流强度为I ，试计算距轴线为r处的磁感应强度B 。

(12分)E rϕr22q《电磁学》期末考试试卷（A 卷）第 12 页 共 6 页解： 应用环路定理 0lB d l I μ∙=∑⎰， 以轴线为心，r 为半径选一圆周为积分回路，则在内部， 20022r B r I I Rπμμ∙==∑ 022()r B I r R R μπ∴=在外部，02B r I I πμ∙==∑， 02()IB r R rμπ∴= ， B 的方向由右螺旋法则判定。