函数极限总结
一．极限的产生
极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。
极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。
但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。
从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。
[1]
二．极限知识点总结
1. 极限定义
函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式
时，对应的函数值 都满足不等式：
那么常数A 就叫做函数f(x) 当x →x 0时的极限，记作。
[2] 单侧极限：①.左极限：或 ②.右极限：或 定理：
函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相
等 即。
2. 极限概念
函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式
时，对应的函数值f(x)都满足不
δ<<|x -x |00ε
<-|)(|A x f A x f x
x =→)(lim 0
A x f x
x =-
→)(lim )()(左→→x A x f A x f x
x =+
→)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==⇔
=+-→)()()(lim 0)()()()()(0000lim
x f x f x f x f x f x x ==⇔=+
-→)(x f 0x x →)()()(lim 0
00x f x f x f x
x →+
-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →
等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。
时的极限。
函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2]
3. 存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。
下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有；
（2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时，
（2），，
那么存在，且等于。
夹逼定理：（1）当时，有 成立
（2）
,那么，极限存在，且等于A
【准则Ⅰ，准则Ⅰ´合称夹逼定理】 准则Ⅱ： 单调有界数列必有极限
准则Ⅱ＇ ：设函数在点的某个左(右)邻域内单调并且有界，则在的左(右)极限必定存在[3]
单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给o >ε,存在)(εN ,使得当N >n ,
N >m 时，有ε<-||m n x x 成立。
[2]
极限运算相关法则、定理及推论
（1）.设α、β为同一极限过程下的无穷小 （无穷小） （2）.穷小之积为无穷小 （无穷小）
{}n x {}n y {}n z +∈∃N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞
→lim {}n x a x n x =∞
→lim ),(0r x U x
∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim )
(0
A x h x x x o =∞→→)(lim )
()(lim )
(0
x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U
∉()0x f )(x f 0x )(x f 0x )(-x f ()[]
+x f 0=±βα0=•βα
例1. 【解】
（2）约零因子求极限
)138(21
lim
+-→x x x ()
6
1381
381
381
382
11
21
1
1
21
2
1lim lim lim lim lim lim lim =+-⎪⎭⎫
⎝⎛=+-=+-=+-→→→→→→→x x x x x x x
x x x x x x x
(8)用对数恒等式求极限
)()(lim x g x f
四．参考文献
[1]极限理论
https:///item/%E6%9E%81%E9%99%90%E7%90
%86%E8%AE%BA/5081808?fr=aladdin 2017.11.24
[2]函数极限https:///item/函数极限
/727083?fr=aladdin 2017.11.24
[3]同济大数学系《高等数学第七版上册》北京高等教育出版社
1987年
[4]来自QQ空间由大学生笔记墙整理。