Show Graphics Line Nest redokoch, lnko01, 6 AspectRatio ® Sqrt 3 6 ,
@8 D @ D @< 8 < @ @8 @ DD @D@L D @D H @ D @ 8 @ D @D @ @ @D@D D D< < @< D< D D @@@ D 88 @ @D D
@@
;
D
4、龙曲线
dragon ptlist_List := Block
ln01 =
ListPlot Nest dragon, ln01, 12 , PlotJoined ® True, AspectRatio ® 1 1.6, Axes ® None
@ D @ 8 @D < @HHL @D @ D L 8 @D @D < @ @D H@ L D D D D8< < 8 D @@ D
, i, pnum = Length ptlist 3 , 3 i+ 1 , ; , 3 i+ 2 3 i+ 3 Show Graphics tmp , AspectRatio ® 1 GoldenRatio
pol =
-1, 0 , 1, 0 , 0, Sqrt 3
showsierpinski Nest redosierpinski, pol, 6
@ D@ D @8 8< < @ @8 @ D @@ D DD H@D @D @D @ D D @L H@D @D @D @D L H@ D L @D @D @D @D H@D @D @D @D L H@D @D @D @D L H@ D @ D @D L @D @< DD D
• 分形的维数
1、相似维数：设分形 F 是自相似的，即 F 由 m 个子集构成，每个子集放大 c 倍后同 F一样 ，则定义 F 的维数为
d ( F ) log( m) / log( c)
例如，对于Cantor集， d ( F ) log 2 / log 3 对于Van Koch 雪花曲线，d ( F ) log 4 / log 3
实验十二 迭代 (2) --分形
实验内容
• 什么是分形？ • 图形迭代 • 函数迭代 • IFS迭代 • 分形的应用
1、什么是分形
• 分形发展简史 欧氏几何、解析几何、微分几何—正则 微积分，复变函数---光滑 反例 1，Cantor集合
F0
F1 F2
Cantor 集合 F中点数不可数（比有理数 还多！），但其区间长度为零！
ptlist
@8 D @ D 8 @< 8 < @H @D @L DD 8 @D @D D @< @ @ @@ D 8 < D @ @ 8 @ D@ D D @ D @ @ D D @ D @ D @ @@ D DD @ D @ D @ D
, i, j, pnum = Length ptlist , tmp1, tmp2, d = ,
反例 2，Weierstrass函数
W ( x)
n 0 ( s 2) n
sin( x)
n
其中 1<s<2 且 1 ，W(x) 是处处连续、
处处不可微的函数。对应 s=1.4, 2
的图象是
lambda = 2; nmax = 30; s = 1.5; Plot Sum lambda^ k, 1, nmax , x, - 10, 10
- ptlist i 5; - ptlist i + 1, 2 ,
i + 1, 1
ptlist
d = Join d,
-1, - 1, 1, - 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, - 1, -1 ; tmp = Join tmp, ptlist i , ptlist i - tmp2, ptlist i - 2 tmp2, ptlist i + tmp1 - 2 tmp2, ptlist i + tmp1 - tmp2, ptlist i + 2 tmp1 - tmp2, ptlist i + 2 tmp1 - 2 tmp2, ptlist i + 2 tmp1 - 3 tmp2, ptlist i + tmp1 - 3 tmp2, ptlist i + tmp1 - 4 tmp2, ptlist i + tmp1 - 5 tmp2, ptlist i + 2 tmp1 - 5 tmp2, ptlist i + 2 tmp1 - 4 tmp2, ptlist i + 3 tmp1 - 4 tmp2, ptlist i + 4 tmp1 - 4 tmp2, ptlist i + 5 tmp1 - 4 tmp2
2;
- ptlist i, 1
+ ptlist i + 1
2 + tmp1,
; tmp
;
0, 0 , 1, 2
;
5、Hilbert曲线
Hilbert ptlist_List := Block tmp =
For i = 1, i < pnum, i ++, tmp1 = tmp2 = ptlist i+ 1 ptlist i, 2
, i, pnum = Length ptlist 3 i +1 , 3 ,
+ ptlist + ptlist + ptlist + ptlist + ptlist + ptlist
3 i +2 3 i +3 3 i +2 3 i +3 3 i +3 3 i +3
2, 2, 2, 2, 2, 2,
ptlist
i+ 1 1, 0
; tmp ;
0, 0 ,
;
3、Sierpinski地毯
redosierpinskiቤተ መጻሕፍቲ ባይዱptlist_List := Block tmp = For i = 0, i < pnum, i ++, tmp = Join tmp, ptlist ptlist ptlist ptlist ptlist ptlist ptlist 3 i+ 1 3 i+ 1 3 i+ 1 3 i+ 2 3 i+ 1 3 i+ 2
tmp = Join tmp,
ln01 =
ListPlot Nest redominkowski, ln01, 3 , PlotJoined ® True, AspectRatio ® 1 GoldenRatio, Axes ® None
@ D @D @8 8< < @8 @D @ D @D @DD D @D @< @8 @D @ D@ @D@D DD @D@D @ @D D @ @D @D @@D D @D @D @@D D @D @D @@D D @D @D @@D D @D @D @@D D @D @D D< @ @ DD < D< < 8@ 88 @ DD
- ptlist i, 1 5; If direct i Š 1, d = Join d, 1, 1, - 1, -1, 1, 1, - 1, - 1, 1, - 1, 1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, - 1, 1, - 1, -1, 1, 1, - 1, - 1 ; tmp = Join tmp, ptlist i , ptlist i + tmp1, ptlist i + 2 tmp1, ptlist i + 2 tmp1 + tmp2, ptlist i + tmp1 + tmp2, ptlist i + tmp1 + 2 tmp2, ptlist i + 2 tmp1 + 2 tmp2, ptlist i + 2 tmp1 + 3 tmp2, ptlist i + tmp1 + 3 tmp2, ptlist i + 3 tmp2, ptlist i + 4 tmp2, ptlist i + tmp1 + 4 tmp2, ptlist i + 2 tmp1 + 4 tmp2, ptlist i + 3 tmp1 + 4 tmp2,
tmp = ptlist, tmp1, i, pnum = Length ptlist ptlist i, 2 , For i = 1, i < pnum, i ++, tmp1 = -1 ^ i - 1 ptlist tmp = Insert tmp, ptlist i 2i i + 1, 1
- ptlist i + 1, 2 ,
• 对于一条直线段，将它等分，每段长度为 原来的1/N，共分为N段。 • 将一个正方形每边等分成N段，共有N2个小 正方形。 • 将一个立方体每边等分成N段，共有N3个小 立方体。 • 一般地，设一图形可分解为m个与之相似的 子图形，每个子图形是原来的1/c. 则图形的 维数D满足：cD=m.
2、盒子维数：设 F R是有界集合， 其中 R 是正方形。将 R 分成边长为 的 子正方形。记 N ( ) 为子正方形中包含 F 中点的子正方形的个数。定义 F 的盒子 维数为 ln N ( ) d ( F ) lim 0 ln( 1 / ) 例如，对于 Weierstrass处处连续、处处 不可微的函数，其分形维数为 s.
Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自
然的几何形态的学科---分形(Fractal)