人教A 版必修二第一章空间几何体综合测试题一、单选题1．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，12A A AB AC ===，那么三棱锥1A ABC -的体积是（ ）A ．43B ．83C ．4D ．83．主视图为矩形的几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）A ．42236B ．42436C ．2320D ．42635．已知直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上，且4AB =，16AA =，30ACB ∠=︒，则此直三棱柱的外接球O 的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．100πD ．500π36．如图，边长为1的正方形''''O A B C 是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，则图形OABC 的面积是（ ）A ．24B ．22C ．2D ．227．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为（ ）A ．2π B ．3π C ．πD ．32π 8．如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD ''-，则棱锥C A DD ''-的体积与剩余部分的体积之比为（ ）A ．1:5B ．14：C ．13：D ．12：9．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1BB 、BC 的中点，则图中阴影部分在正方体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的（ ）A ．①③B ．②④C ．②③④D ．③④10．已知三棱锥S ABC -中，2SAB ABC π∠=∠=，4213SB SC ==，，2,6AB BC ==则三棱锥S ABC -的体积是（ ）A ．4B ．6C ．43D ．6311．如图所示，已知一圆台上底面半径为5cm ，下底面半径为10cm ，母线AB 长为20cm ，其中A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 的中点M 处拉一条绳子，绕圆台的侧面转一周达到B 点，则这条绳子的长度最短为（ ）A ．30cmB ．40cmC ．50cmD ．60cm12．一个倒置的圆锥形漏斗，底面半径是10cm ，母线长是26cm ，把一个球放在漏斗内，圆锥的底面正好和球相切，则这个球的体积是（ ）A ．320081π B ．3200081π C ．230081π D ．2300081π二、填空题13．棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积等于______. 14．已知正四棱锥的高为4，侧棱长为32，则该棱锥的侧面积为___________. 15．在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB CC ==，1BC =，点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______．16．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是对角线1BD 上的点，若直线DP 与底面ABCD 所成角的正切值等于322，则经过P ，A ，B ，C ，D 的球的表面积等于______．三、解答题17．已知球O 的半径为5. （1）求球O 的表面积；（2）若球O 有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离.18．将圆心角为43π，半径为1cm 的扇形，卷成圆锥形容器，求： （1）这个容器的侧面积； （2）这个容器的容积.19．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，3AB =，14AA =，M 为1AA 的中点，P 是BC 上的一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱1CC 到M 的最短路线为29.设这条最短路线与1CC 的交点为N ，求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； （2）PC 和NC 的长.20．如图，我们知道，圆锥是Rt AOP △（及其内部）绕OP 所在的直线旋转一周形成的几何体.我们现将直角梯形11AOO A （及其内部）绕1OO 所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台.设1O 的半径为r ，O 的半径为R ，1OO h =.（1）求证：圆台的体积3313R r V h R rπ-=⋅-；（2）若2R =，1r =，3h =S .21．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，过顶点B 、D 、1A 截下一个三棱锥.（1）求剩余部分的体积； （2）求三棱锥1A A BD 的高.22．正三棱锥的高为1，底面边长为26 （1）棱锥的表面积； （2）内切球的半径.参考答案1．C 【分析】由圆锥侧面展开所得扇形的弧长与底面周长相等可得圆锥母线与底面半径的数量关系，即可求轴截面底角的大小. 【详解】若圆锥如下图所示，则侧面展开图半圆的半径R PA PB ==，底面半径r OA OB ==，由题意知：1222R r ππ⨯=，即2R r =， ∴轴截面对应等腰三角形的底角1cos 2OB r PBA PB R ∠===， ∴60PBA ∠=︒， 故选：C 2．A 【分析】椎体的体积公式13V sh =，因此要找到三棱锥的高和底面，由题知1A A 为高，底面为直角三角形ABC ，代入公式计算即可. 【详解】1A A ⊥底面ABC1A A ∴为三棱锥1A ABC -的高2h =ABC 为底面 1122222ABCSAB AC ∴=⋅=⨯⨯=∴111422333A ABC ABCV Sh -=⋅=⨯⨯= 故选：A. 3．A 【分析】根据几何体的特征，由主视图的定义，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，圆柱的主视图为矩形，故A 正确；B 选项，圆锥的主视图为等腰三角形，故B 错；C 选项，棱锥的主视图为三角形，故C 错；D 选项，球的主视图为圆，故D 错. 故选：A. 【点睛】本题主要考查简单几何体的正视图，属于基础题型. 4．A 【分析】先找到几何体的原图，再求几何体的表面积. 【详解】由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如图所示（四棱锥P ABCD -）：其底面ABCD 为一个底边长是222的矩形，侧面PBC 是边长为2面ABP ，ADP ，CDP 均是边长为2的等腰直角三角形， 所以其表面积为23222(22)3S =⨯+⨯212422362⨯=，故选：A ． 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．C 【分析】设点O '为ABC 外接圆的圆心，根据30ACB ∠=︒，得到AO B '△是等边三角形，求得外接圆的半径r ，再根据直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上，由22152AA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭求得，直三棱柱的外接球的半径即可. 【详解】 如图所示：设点O '为ABC 外接圆的圆心， 因为30ACB ∠=︒，所以60AO B '∠=，又O A O B r ''==， 所以AO B '△是等边三角形， 所以4r O A O B AB ''====，又直三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 上，所以外接球的半径为22152AA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以直三棱柱的外接球O 的表面积是24100S R ππ==， 故选：C 6．D 【分析】根据直观图画出原图可得答案. 【详解】由直观图''''O A B C 画出原图OABC ，如图，因为''2O B =，所以22OB =，1OA =，则图形OABC 的面积是22. 故选：D7．B 【分析】三视图可还原成三棱锥，三棱锥可还原成正方体，即可求出外接球半径，进而求出体积. 【详解】三视图可还原成三棱锥P ABC -，可把三棱锥P ABC -还原成正方体如图，棱长为1，则三棱锥P ABC -的外接球的半径为此正方体的半径3322a R ==，则34433V R ππ===故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查由三视图求几何体外接球问题，解题的关键是将几何体的外接球还原为正方体的外接球，即可轻松求解. 8．A 【分析】设AB a ，AD b ，DD c '=，计算三棱锥C A DD ''-，进而得答案. 【详解】 解：法一：设AB a ，AD b ，DD c '=，则长方体ABCD A B C D ''''-的体积V abc =，又12A DD S bc ''∆=，且三棱锥C A DD ''-的高为CD a =， ∴1136C A DD A DD V S CD abc '''-∆'=⋅=，则剩余部分的几何体体积1566V abc abc abc =-=剩，则151566C A DD V V abc abc '-'==剩：：：， 故选：A.法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD A BCC B ''''-， 设它的底面ADD A ''面积为S ，高为h ，则它的体积为V Sh =，而棱锥C A DD ''-的底面面积为12S ，高为h ， ∴棱锥C A DD ''-的体积111326C A DD V Sh Sh '-'=⨯=三棱锥，剩余部分的体积是1566V Sh Sh Sh =-=剩，∴棱锥C A DD ''-的体积与剩余部分的体积之比为151566Sh Sh =：：. 故选：A. 9．A 【分析】根据题意依次向六个面投影即可得答案. 【详解】解：向ABCD ，1111D C B A 面投影得如图1，与选项中①相同； 向11BCC B ，11ADD A 面投影得如2；向11CDD C ，11ABB A 面投影得如图3；与选项中③相同； 故选：A .10．C 【分析】根据条件，由勾股定理分别算出AC 和SA ，利用勾股定理的逆定理得出222AC SA SC +=，进而得出SA AC ⊥，结合已知条件，根据线面垂直的判定定理，可证出SA ⊥平面ABC ，利用棱锥的体积公式即可求出答案. 【详解】 如图，由题知2ABC π∠=，2AB =，6BC =，得：222226210AC AB BC +=+=由于2SAB π∠=，4SB =，213SC =得：22224223SA SB AB =-=-=，则：222401252AC SA SC +=+==， 所以：SA AC ⊥， 已知2SAB π∠=，即SA AB ⊥，AB AC A ⋂=，SA ⊄平面ABC ，所以SA ⊥平面ABC ，所以三棱锥S ABC -的体积为：111262343332ABC V S SA =⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=△.故选：C. 11．C 【分析】设SA R =，圆心角为α，根据扇形的弧长公式建立方程组，解之可得α，R ，再由勾股定理可得选项. 【详解】设SA R =，圆心角为α，则10R πα=， 又20(20)R πα=+，解得2πα=，20R =cm ，则30SM =cm ，40SB '=cm ，50MB '=cm ，故选：C. 12．B 【分析】欲求球的体积，只需求球的半径，根据题意，球与圆锥的侧面和底面相切，画出几何体的轴截面，利用直角三角形即可求球的半径。