第二十一章数学活动
三角点阵中前n行的点数计算及拓展导学案
一、导学
（一）活动导入
老师在黑板上画1个点，说明点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以构成一个点阵,点阵是非常有趣的图形.今天我们就来研究“点阵中的规律”（板书课题）
（二）活动目标
1．通过观察点阵（数学模型），了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律
2.探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式.
3.运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
4.通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.
（三）活动重难点
重点：探索三角及正多边形点阵中前n行的点数和的计算公式,运用一元二次方程的知识和三角及正多边形点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
难点：运用一元二次方程的知识和点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
二、活动过程
探究一三角形点阵
1．活动指导
（1）活动內容：三角形点阵. （2）活动时间：10分钟.
（3）活动方法：完成活动参考提纲.
（4）活动参考提纲：
图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，
其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个
图1
点…．观察图形，完成下面各题.
①下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整
前n行数 1 2 3 4 5 …10 …n
点数和……
②若该三角点阵前n行的点数和是300，求行数n．
③该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由．
④如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？
⑤在④中，三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学：（1）师助生：
①明了学情：明了学生归纳公式、建立一元二次方程模型等方面的情况.
②差异指导：对困难学生从归纳公式、建立一元二次方程模型等方面进行指导.
（2）生助生：学生同桌之间互相交流.
4.强化：
（1）三角点阵中前n行的点数和的计算公式.
（2）运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题的一般过程.
探究二正六边形点阵
1．活动指导
（1）活动內容：正六边形点阵.
（2）活动时间：5分钟.
（3）活动方法：完成活动参考提纲.
（4）活动参考提纲：
如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，
算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，…，依此类推．
①填写下表：
层数 1 2 3 4 …
该层对应的点数…
所有层的总点数…
②写出第n层所对应的点数（n≥2）；
③写出所有n层的正六边形点阵的总点数（n≥2）；
④如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？
⑤点阵设计大赛：
设计时间：5分钟.
设计要求：
○a每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探索提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案.
图例：
○b每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律.
○c优秀设计作品将在班级“学习园地”展出.
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学：（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会归纳所有n层的正六边形点阵的总点数.
②差异指导：对困难学生在归纳所有n层的正六边形点阵的总点数方面进行指导.
（2）生助生：学生同桌之间互相交流.
4.强化：探索正六边形的点阵的方法.
三、评价
1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？有哪些不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
课后巩固：
1. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；
①1=1
②1+2= ；
③1+2+3= ；
④ .
（2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式 .
（3）2015是“三角形数”吗？为什么？
（4）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．
结合（1）观察下列点阵图，并在⑤看面的黄线上写出相应的等式．
①1=12
②1+3=22
③3+6=32
④6+10=42
⑤ .
（5）通过猜想，写出（3）中与第n个点阵相对应的等式： .
（6）判断225是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？
2. 如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个
圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第几个图形由217个圆组成？
……
3. 如图：正五边形点阵，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点.这个五边形点阵前n层共有331个点,求n；这个五边形点阵会不会存在前n层共有1261个点的情形？如果存在，求n的值；如果不存在，说明理由.
4. 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问题：
(1)在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖(均用含n的代数式表示)；
(2) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
(3) 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中，共需花多少元钱购买瓷砖?
(4) 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算说明为什么?。