直径，见图5-3
还有一个参数b也反映了中主应力接近大主应力的程度。
若 2＝ 1 ，b=1；若 2＝ 3 ,b=0 b 2 3 1
1 3
2
§1.应力和应变
相应地，也有应变罗德参数
＝
2
2－1－ 1－ 3
3
图5-3
§1.应力和应变
5. 应力不变量 不随坐标轴的选取而改变 第一应力不变量： I1 1 2 3
tan
3
§1.应力和应变
应力空间还可以用其他形式的应力分量为坐标。 如果以σｘ，σｙ，σｚ，τｘｙ，τｙｚ和τｚｘ六个应力分量为 坐标，则应力空间是六维空间，无法用图形表示，仅可以 作抽象的理解。
p-q 平面
§1.应力和应变
如果忽略第三应力不变量或应力罗德角对变形的影响 ，可以只用ｐ、ｑ两个分量来构成二维的应力空间，叫p－ q平面，如图5-6所示。在后面的本构模型理论中，常常会 用到这种ｐ－ｑ平面。
过来。对于某种加荷方式，代表
应力状态的点将从Ａ沿某种轨迹
移动到Ｂ。加荷过程中，不同的
图9
加荷方式可以用不同的应力路径
来表示。
§1.应力和应变
更常用的是用p-q平面的应力路径
q
普通三轴应力状态下 p＝ q＝
p
与其相应，当然也有应变路径。
（三）应力应变关系矩阵
k
[D]
广义虎克定律 增量形式
D
分别为
OCT
1 3
1 2
3
OCT
2 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
§1.应力和应变
4. 球应力、偏应力及相应应变
在土体本构模型理论中，常常也用球应力、偏应 力以及μ或θ作为应力分量。
球应力也称为平均正应力以p表示
p
1 3
1
2
3
1 3
(
x
y
z
)
偏应力又叫广义剪应力，以q表示
在进行公式推导时，一般尽量用一种表示方 法：矩阵或张量，不宜混用
§1.应力和应变
（2）张量表示法
偏应力张量
Sij
x
yx
p
zx
xy y p
zy
xz yz
z p
注意：在进行公式推导时，一般尽量用一种表示方法： 矩阵或张量，不宜混用
§1.应力和应变
注意：
在弹性力学中，法向应力和应变 以拉为正，压为负；而土体一般不能受 拉，土力学中讨论的地基应力、土压力 等，都是以压为正，拉为负。因此，土 力学中，应力应变分量的正负规定就与 弹性力学相反，即正面上的负向应力为 正，负面上的正向应力为正。不仅正应 力如此，剪应力也如此，以保持一致， 并能套用弹性力学公式。
应力分量为坐标轴构成一个直角坐标系，叫主应力空间。 这个空间内一点有三个坐标值，就代表了实际土体中一点
的某种应力状态。图5-4中的M点代表了应力状态 1M ， 2M
和 3M 。
§1.应力和应变
图5-4
平面
弹塑性力学： Pi平面为过原点 与空间主对角线 垂直的平面
§1.应力和应变
在主应力空间内，法线与空间主对角线重合的等倾
面，被叫做 π 面。所谓空间主对角线，就是与3个坐标
轴的夹角都相等的线。主应力空间中，在该线上有 1＝ 2＝ 3
八面体面是几何空间（长度坐标系）内的面，π面是在
应力空间内的面。两者坐标系不同，物理概念不同。再者，八
面体面在几何空间内的八个挂限都有，而 π 面只存在于应力
空间内的第一挂限和与其相对的挂限，其它挂限内的等倾面并
位可反映第三个分量。将图5-4中的三个主应力坐标轴，以
及代表应力状态的点M 投影到 π面上，如图5-5所示。
§1.应力和应变
在该面上放一个二维
的直角坐标系，令Y轴与
σ2轴重合，X轴在σ1 的那 一侧。定义到X轴的转角
θσ叫应力罗德角。它就是
与第三应力分量有关的参
数。可以证明，它与罗德
参数间的关系为：
q 1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
注意：此式也可用6个 应力分量表示
注意：这里的偏应力和Sij的区别，建议这里不用偏应力
§1.应力和应变
p 和q也可以用八面体应力来表示，如下
p＝ OCT
q
3 2
OCT
ｑ反映了复杂应力状态下受剪的程度，因此常用来表
示剪应力。当 2＝ 3 时，如轴对称的三轴仪试样受 力情况，ｑ＝ 1 3
第二应力不变量： I 2 1 2 2 3 3 1
第三应力不变量： I3 1 2 3
此外，还有下面两 个偏应力不变量，它们须与第 J2
1 6
1
2 2
2
3 2
3
1 2
J3
1 27
2 1
2
3 2 2
3
1 2 3
1
2
一应力不变量Ｉ１相结合形成三个独立的应力分量：
第二偏应力不变量 ：
x y z xy yz zx T
§1.应力和应变
ij
ij
图5-1
（2）张量表示法
如果某些量依赖于坐标轴的选取
，并且，当座标变换时，它们的
变换具有某种指定的形式，则这
些量总称为张量。一点的应力分
量就总称为应力张量。
yxx
xy y
xz yz
ij
zx zy z
试验时，土样的上下两端与透水石接触处，分别放置滤纸。 试样外侧包有薄橡皮膜，膜的下端扎紧于底座，上端扎紧于 试样帽。
所谓压力室就是能够施加水压力或气压力的密室，侧向为有 机玻璃筒，上部为金属顶盖，下部固定于底座，其间设有密 封圈防止漏水，顶盖的中央为一金属活塞杆传递竖向荷载。
§2.土体三维变形试验
土体本构模型
本构关系：材料的应力~应变(~时间)关系
本构模型：反映材料的应力－应变(－时间)关系的数 学模型，即数学表达式。当然，这种数学表达式可能 很复杂，而且包括一系列的数学表达式。
E
§1.应力和应变
(一）应力和应变分量的几种表示方法
1.一般分量
（1）矩阵或向量表示法 土体中一点的应力状态，可以用处于该点的正六面体单 元的表面上的6个（9个）应力分量来表示，即3个正应力分 量 x , y , z ，3个剪应力分量 xy , yz , zx 写成矩阵形式为
§1.应力和应变
x y
DD1211
D12 D22
D13 D23
x y
xy
D31
D32
D33
xy
对于任一元素D i j，其意义为，要产生单位应变增量 j 而其
它应变增量为0时，在应施加的应力增量 中的分量 i 即为
Dij。显然，D i j 的值愈大，材料愈难变形，表示材料刚度愈大
x y z
x E y E z E
E
(
y
E
(
x
E
(
x
z )
z )
y
)
（三）应力应变关系矩阵
广义虎克定律
[D] [D]
[D]
D
§1.应力和应变
（三）应力应变关系矩阵
复杂应力状态下的应力应变关系是多元化的，要表示出 多元素与多元素之间的关系，就要用张量或矩阵。常用到 的增量形式的应力应变关系的矩阵为
图5-8
§1.应力和应变
2.应力路径
在应力空间内，代表应力状态的点移动的轨迹， 叫应力路径。它表示应力变化的过程，或者加荷的方 式。
§1.应力和应变
设土体中一点初始应力状态如图
5-9应力空间内Ａ点所示，受力
后变化到Ｂ。从Ａ到Ｂ，可以有
各种方式，如σ１、σ２和σ３按
比例增加；初期σ３增加得多，
σ１和σ２增加得少，而后期反
在复杂受力条件下，建立土的应力应变关系，实际 上就是要给出矩阵[C]或[D]。 [C]或[D]互为逆矩阵
§2.土体三维变形的试验
１．三轴仪应力变形试验
三轴仪的构造示意如图5-10所示。
试样 测孔压
加围压
图5-10
§2.土体三维变形试验
仪器构造： 中间为圆柱形土样。其下为透水石，透水石放在三轴仪 底座上；试样顶部也放有透水石再上面是金属的试样帽。
x y z xy yz zx T
应力偏量
x p
y p
z p xy
yz
T xz
偏应力
§1.应力和应变
(一）应力和应变分量的几种表示方法 1.一般分量
（1）矩阵或向量表示法 图5－1中表示了单元体上的这6个应力分量。相应地，也 有6个应变分量，以矩阵表示为
§1.应力和应变
可以推知相应的应变分量
体积应变： s
v
2 3
1
2
3
(1 2 )2 ( 2 3 )2 (1 3 )2
偏应变：
其中 s 表示了复杂受力状态下的剪切变形。对
于轴对称三轴试样的变形，有
2＝ 3
v 1 2 3
s
2 3
1
3 1
v
3
§1.应力和应变
球应力和偏应力，以及相应的应变分量，实际上 与八面体应力和应变是等效的，仅仅是系数不同。但 在分析能量时，要简单得多。可以推得：
不是π面。空间主对角线也只存在于这两个挂限。
§1.应力和应变
利用π面可以较好地反映应力状态。图5-4中点M的坐 标代表主应力分量。通过M点作π面。它到原点的距离为
OO
1 3
1
2
3
3p
在π面上，M到空间主对角线的距离
MO
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
＝
2q 3
它们分别与应力分量p和q有关。而点M在 π面内的方
体积变形能 ： 形变能 ：