（8）
这就是全面反映牛顿流体应力与应变速度关 系的本构方程式。 按照矩阵加法、乘法规则将对应元素展开， （8）式可以代替（）及（7）两式，用矩阵表达 可使后两个公式形式统一。
对于不可压缩流体来说，将（7）式中的 三式相加，因为
vx v y vz 1 0，因此p p xx p yy p zz x y z 3
•
' p xx p p xx p 2 xx p 2
p yy p p 'yy p 2 yy p 2
v x x v y
y v ' p zz p p zz p 2 zz p 2 z z
（7）
• 将（5）和（7）联合在一起，写成矩阵形式，则为
2 2 2 v x , v y , v z 是单位质量流体的切向
应力的分量（粘性力）。
其中，

理想流体运动微分方程及其积分
流体为理想流体时，运动粘度为0，N－S方 程可简化为：
v x v x v x 1 p v x X vx vy vz x t x y z v y v y v y 1 p v y Y vx vy vz y t x y z 1 p v z v z v z v z Z vx vy vz z t x y z
（10） 这就是不可压缩实际流体的运动微分方程式， 通常称为纳维-斯托克斯方程式，或N-S方程式。
• 式中，
dvx dvy dvz , , 是流体运动时单位质量流体的惯性力 dt dt dt 在三个坐标轴上的分量（惯性项）； X, Y, Z是单位质量流体的单位质量力分量； 1 p 1 p 1 p , , 是单位质量流体的法向应力 x y z 的分量；
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当 微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表 面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元 有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同 性的性质了。
粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。 在粘性流体表面上任取一点N，过N作微元面积Δ A。其 外法线方向矢量为 n ，切线方向为 ，N点的表面应力 分为法向应力pn 和切向应力τ ，pn 和τ 随微元面积Δ A 在空间的位置而变化。在直角坐标系中将pn和τ 沿x，y ，z三个坐标轴分解成9个应力分量，即
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速 度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的 法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的 各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由 于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上 由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最 后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
该方程组有四个未知数p,vx,vy,vz，它和 连续性方程共有四个方程式，从理论上讲， 在一定初始条件和边界条件下，任何一个不 可压缩均质粘性流体的运动问题，是可以求 解的。但是由于实际流体中的粘性影响非常 复杂，单纯用求解N-S方程的方法去解决各种 实际问题是有困难的。 • 而且N-S方程式二阶非线性非齐次的偏微 分方程组，除针对具体情况用数值计算方法 外，还不能积分求普遍解，只有在某些简单 的或特殊的条件下，才能求得精确解。
即为理想流体的运动微分方程，或通称为欧 拉方程。
如果流体是静止或相对平衡流体，则相对于 坐标系来说，速度v=0，则上式简化为：
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
这就是流体的平衡微分方程，也叫欧拉平衡方程。 所以，N-S方程是不可压缩均质流体运动的普遍 方程。如果将牛顿第二定律理解为力的平衡关系式， 则从上面的推导不难看出N-S方程也是作用在流体上 的力的平衡关系式。
实际流体的运动微分 方程
——纳维-斯托克斯方程式 （N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力 在粘性不起作用的平衡流体 中，或者在没有粘性的理想运动 流体中，作用在流体微元表面上 的表面力只有与表面相垂直的压 应力，而且压应力又具有一点上 各向同性的性质。
图一
dvx v x v x v x v x 1 p 2 vx vx vy vz x dt t x y z dvy v y v y v y v y 1 p 2 Y vy vx vy vz y dt t x y z 1 p 2 dvz v z v z v z v z Z vz vx vy vz z dt t x y z X
dn
式中的正负号是为了保持切应力的τ 的正值。 在层流中取正方形流体微元面积abcd，流层间存在 相对速度，在运动中必然变形，经时间dt后变成 a’b’c’d’，ab边线的转角为 d d tgd dvdt 那么角变形速度为
d dv dt dn
dn
即速度梯度等于
剪切变形的角速度。牛顿内摩擦定律也可写成
图2
这就是剪切应力与剪 切应变速度的关系式， 实际也就是牛顿流体的 牛顿内摩擦定律在三元 运动情况下的推广。
•
流体运动时在内部产生的切应力是阻碍流体剪切 变形的。其实流体的粘性不只对剪切变形有阻碍作用。 下面我们分析一下法向应力与直线变形速度之间的关 系。 • 如图3所示，ABCD经过dt时间变成A'B'C'D'时， 微元体在x方向的粘性阻力阻止其拉长。微元体在y方 向缩短，亦必遇到y方向的粘性阻力阻止其缩短。 • 这种表面法向作用的应力的大小与各该方向的直 线应变速度有关，方向与直线变形的方向相反。
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可 压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这 给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便， 我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各 向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此 算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际 运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
• 由上可知，p这个符号就有三种不同的含义： • 在平衡流体中，它代表一点上的流体 静压强； • 在理想运动流体中，它代表一点上的 流体动压强； • 在不可压缩实际运动流体中，它代表 一点上的流体动压强的算术平均值，因此 它也代表一点上的流体动压强。
纳维－斯托克斯方程
将方程（5）、(7)代入方程（3），对于x轴 方向的方程为：
d dt
联系到流体微元运动分析，如图2所示，则流体 微元绕z轴的剪切角速度为
v y v x d （ ） 2 xy y x
流体微元各表面上的切应力为
xy yx ( yz zy xz zx
v x v y ) 2 xy y x v y v z ( ) 2 yz （5） z y v x v z ( ) 2 xz z x
（3）
方程（3）就是以应力表示的粘性流体运动微分 方程，通常X、Y、Z作为已知量，不可压缩流体 已知，方程应包含六个应力及三个速度分量，共9 个未知数。而方程（3）加上连续性方程也只有4 个方程，无法求解，必须找出新的补充关系式。
应力和变形速度的关系
由牛顿内摩擦定律知，当流体两层速度不同时，作用在 流体上的切应力大小等于动力粘度乘以速度梯度。切应力 与速度梯度关系为 dv （4）
v x v x v y v x v z dvx 1 X { ( p 2 ) [ ( )] [ ( )]} x x y y x z z x dt
化简得
dvx 1 p 2 vx 2 vx 2 vx vx v y vz X [( 2 2 2 )] [( )] x x y z x x y z dt
zy dxdy ( zy ( xy x p yy y y zy x z zy z dz)dxdy Ydxdydz )dxdydz Ydxdydz
（1）

流体微团质量与y轴加速度的乘积为
Ydxdydz
dv y dt
（2）
由牛顿第二定律（1）=（2），化简得
p xx yx zx
xy
p yy
xz yz
p zz
xy
应力矩阵的元素沿pxx-pyy主对角线是 对称的。在这9个元素中，xy yx xz zx yz zy ，因此只有6个独立分量。
注意：应力符号 中的下标，下标 第一个字母表示 作用面的法线方 向，第二个字母 表示应力的方向。
•
非线性偏微分方程的常用解法
• 在工程流体中，解决上述非线性偏微分方程 的常用方法和途径有以下三种： • （1）在一些简单的问题中，由于问题的特点， 非线性项等于0，或设法使方程化为线性方程，从 而求得精确解。如用于解决圆管层流、平板层流、 球体的低速绕流、地下水渗流等问题时，能够得 到与实验相符合的满意结果； • （2）根据问题的物理性质，略去方程中某些 次要项，从而得到近似方程，在某些情况下得到 近似解。如用于分析附面层、润滑理论等问题时， 能够得到一定程度的近似结果；
y D D' A O B x
按照剪切力与剪切应变速度的关系式可写出
p'yy
C C' p'xx B'
' p xx 2 xx 2
p 'yy 2 yy
' p zz 2 zz
图3 直线变形与各向异性压强
2 y v z 2 z