微分法则
给定函数y=f(x1,x2),其全微分的直接方法是 将偏导数f1和f2代入方程中dy= f1dx1+ f2dx2
o 以下是常用法则
2019/2/24
III.8.7
GuoSipei@CCNUMATH
全导数
求全导数
o 任意函数y=f(x,w), 其中x=g(w) o Y对w的全导数为
o 求全导数dy/dw的过程称为y对w求全微分的过程 o 例:
2019/2/24
III.8.11
GuoSipei@CCNUMATH
隐函数的导数
隐函数
o 形式为F(y,x1,…,xm)=0的一般方程可以定义一个 连续隐函数且该隐函数有连续偏导数fy,f1,…,fm,如 果函数F具有连续偏导数Fy,F1,…,Fm,且在点 (y0,x10,…,xm0)满足原方程,Fy0 [隐函数定理]
• 若有效用函数U=U(c,s),其中c为咖啡的消费量,s为糖的 消费量,另一个函数s=g(c)表示两物品之间存在互补关 系,则可以有:U=[c,g(c)] • 于是有
2019/2/24 III.8.8 GuoSipei@CCNUMATH
引申讨论
o 生产函数为Q=Q(K,L,t),由于包含时间t,因此该函数是动 态生产函数,而且K=K(t),L=L(t)
• 两个偏导数起到“变换因子”的作用,即将dY和di分别 变换为对应的变化dS • dS是两种不同原因所致的变化之和,称为全微分
2019/2/24 III.8.5 GuoSipei@CCNUMATH
o n个自变量的更一般的例子由一般形式的效用函数 给出:U=U(x1,x2,…,xn) o 此函数全微分表示为:
• 表达式中的每一项的经济意义:每件商品的边际效用乘 以该商品消费的增量 • 各项和dU表示所有可能的原因所引致的效用变化的总和
o 储蓄函数和效用函数均可产生点弹性量度,必须仅 根据一个自变量的变化来定义,称为偏弹性
• 储蓄函数的偏弹性为 • 效用函数的偏弹性为
2019/2/24 III.8.6 GuoSipei@CCNUMATH
• 简单国民收入模型:
• 简化为一个方程以求解:
2019/2/24 III.8.2 GuoSipei@CCNUMATH
• 对于均衡解只能写成隐式(均衡恒等式): Y*C(Y*,T0)+I0+G0 • 不能直接用求偏导数的方法得到比较静态导数, T0不仅 直接影响C而且通过Y*间接影响C • 为解决上述问题,我们引入全微分,进而引入全导数,当T0 同时影响另一自变量Y*时,它度量函数C(Y*,T0)对自变 量T0的变化率
o 微分:从给定函数y=f(x)求微分dy的过程
微分与点弹性(微分在经济学中的应用)
o 弹性
• 对于需求函数Q=f(P),弹性定义为(Q/Q)/(P/P) • 可近似将P和Q变成微分dP,dQ来得到近似的弹性量度 dQ / Q dQ / dP 可看作是边际函数与平均函数的比值! d
隐函数的导数
o 隐函数法则: Fx dy o 常用简单情形:给定方程F(y,x)=0,其导数 dx Fy o 此法则表明即使隐函数的具体形式未知,我们仍然可 以通过取函数F的一对偏导数比值的负值而求得隐函 数的偏导数
2019/2/24 III.8.12 GuoSipei@CCNUMATH
Fi y fi x Fy
• 产出对时间的变化率(全导数)可表示为 或者
o 关于“偏全导数”
•当
• 由于在变动u时要求保持v不变,所以dy/du应解释为偏导数,但它由 全微分推导出来,仍是全导数,所以,称为偏全导数
III.8.9
2019/2/24
GuoSipei@CCNUMATH
注意
o 全导数公式也可以视为链求导法则,符复合函数求 导法则 o 导数的链不仅限于两个“环节”(两个导数相乘), 全导数的概念可拓展至复合函数具有两个或多个环 节的情况 o 全导数和全微分的实质是考虑基本变量变化的影响 能直接和间接传递到所研究的特定因变量中的所有 渠道
dP / P Q/P
• 上述比值的绝对值大于1称为有弹性,等于1为单位弹性,小 于1为缺乏弹性
2019/2/24 III.8.4 GuoSipei@CCNUMATH
全微分
推广微分的概念至具有两个或更多自变量的函 数的情况
o 考察储蓄函数:S=S(Y,i),S为储蓄,Y为国民收入,I 为利息率 o 边际储蓄倾向为 o 由于Y的变化而导致的S的变化表示为 o S的总变化近似等于微分 或者
第三篇 比较静态分析
第8章 一般函数模型的比较静态分析
o 微分，全微分，微分法则 o 全导数 o 隐函数的导数 o 一般函数模型的比较静态分析 o 比较静态学的局限性
2019/2/24
III.8.1
GuoSipei@CCNUMATH
第8章 一般函数模型的比较静态分析
偏微分的盲点
o 当模型的解可以简化地显式表示，解的偏导数将直 接给出(比较静态导数)所期望的比较静态信息,但此 工作的前提是自变量之间不存在任何函数相关,即在 模型中意味着简化型解中的参数和外生变量必定为 相互无关的 o 当模型中包含一般函数,不能得到简化型显式解时, 就必须从模型原来给定的方程中直接求出比较静态 导数
2019/2/24
III.8.10
GuoSipei@CCNUMATH
练习
给定进口函数M=f(Y),其中M为进口,Y为国民 收入.用进口倾向表示进口的收入弹性MY 某商品的供给函数为Q=a+bP2+R1/2 (a<0,b>0) [R:降雨量]. 求供给的价格弹性 QP,供给的降雨量弹性QR 若生产函数为A=A(t)KL,其中A(t)是t的增 函数,且K=K0+at,L=L0+bt,求产出对时间的 变化率
为解决偏微分的盲点,处理自变量不独立的函 数,我们借助全微分的手段GuoSipei@CCNUMATH
微分与导数
o 导数:
微分
dy y f ' ( x) lim x 0 x dx
• 差商dy/dx的极限: • 也可以阐释为两个有限变化dy与dx之间的比例因子: dy=f’(x)dx