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（第9题）
江苏省南通中学2008-2009学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
一、填空题（每小题5分，共70分） 1．命题：“若12
<x ，则11<<
-x ”的逆否命题是 ．
若11-≤≥x x ，或，则12
≥x
2．已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，命题2320q x x -+<：
的解集是{|12}x x <<，下列结论：①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“p q ∧⌝”是假命题；
③命题“p q ⌝∨”是真命题； ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是 ①②③④ .
4．用如下方法从1004名工人中选取50代表：先用简单随机抽样从1004人中剔除4人， 剩下的1000人再按系统抽样的方法选取50人．则工人甲被抽到的概率为 ． 5．已知命题
p ：1sin ,≤∈∀x R x ， 1sin ,:>∈∃⌝x R x p
6．椭圆2
2
1x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则
m 的值
为
1
4。
围是
7．命题“ax 2－2ax ＋ 3 > 0恒成立”是假命题．．．, 则实数a 的取值范▲ ．
(－∞，0)∪[3，＋∞）
8．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于6
5
的概率是_________
25
72
_____ 9．右边程序执行后输出的结果是 0
10．“12a b ≠≠或”是“3a b +≠”成立的 条件.
(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)必要不充分 11． 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图： 甲 乙
5
6
9 6 7 0 9
9 8 1 8 3 6 8 5 4 1 9 3 8 8 9 9 10 3 9 9 11
甲、乙同学中 数学成绩发挥比较稳定.
12．若存在实数
[]1,1p ∈-，使得不等式()2330px p x +-->成立，则实数x 的取值范围为
13x x <->或 。
13．用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则三个矩形颜色都不相同的概率为 ▲ ．
14．定义函数CONRND(,a b )是产生区间(,a b )内的任何一个实数的随机数函数.如图所示的程序框图可用来估计π的值.现在N 输入的值为100,结果m 的输出值为21,则由此可估计π的近似值
为 ▲ .
二、解答题（第15、16题14分，第17、 18题15分，第19、20题16分）
15．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
（Ⅰ）填充频率分布表的空格
(将答案直接填在
表格内)； （Ⅱ）补全频数条形图； （Ⅲ）若成绩
在?分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为
多少人？ 解：(1) ---------------------4
分
(2) --------------------------------8分
(3) 成绩在?分的学生占?分的学生的
510
，因为成绩在?分的学生频率为 ，所以成绩在?分的学生频率为 ，---------10分
成绩在?分的学生占?分的学生的
10
5
，因为成绩在?分的学生频率为 ，所以成绩在?分的学生频率为 -------------12分
所以成绩在?分的学生频率为， 由于有900名学生参加了这次竞赛，
所以该校获得二等奖的学生约为?900=234（人） ------------------14分
分组 频数 频率 ? 4
?
? 10
? 16
? 合计
50 分组 频数 频率 ? 4 ? 8 ? 10 ? 16 ? 12 合计
50
结束
输出m
否
是
开始 第10题图
1
m m ←+1
i i ←+输入N
1
i ←0
m ←i N
≤(1,1)(1,1)
A CONRND
B CONRND ←-←-22
1
A B +>是
否
16. 已知||2,||2x y ≤≤，点P 的坐标为(,).x y
（I ）求当,x y ∈R 时，点P 满足()2
22(2)4x y -+-≤的概率；
（II ）求当,x y ∈Z 时，点P 满足()222(2)4x y -+-≤的概率。
解：（1）如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部（含边界），满足()2
22(2)4x y -+-≤ 的点
的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面（含边界）．
∴所求的概率211
24.4416
P ππ⨯=
=⨯ ……………7分 （2）满足,x y ∈Z ，且||2,||2x y ≤≤的点有25个，
满足,x y ∈Z ，且()2
2
2(2)4x y -+-≤的点有6个，
∴所求的概率26
.25
P =
……………15（分） 17．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗Y (吨标准煤)
(1) (2) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx
a =+； (3) 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性
同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3×+4×3+5×4+6×=。
参考公式：用最小二乘法求线性同归方程系数公式
1
2
2
1
ˆˆˆ, n
i i
i n
i
i x y nx y
b
a
y bx x
nx ==-==--∑∑) 15.解：（1）图略
（2）经计算 4
4
21
1
4.5, 3.5,
86,66.5i
i i i i x y x
x y ======∑∑
（3）当100x =时，ˆ70.35y
=，降低了标准煤9070.35
-18．已知命题p ：“方程22112
y x a +
=是焦点在y 轴上的椭圆”,命题q ：
“关于x 的方程ax 2 + 2x +1 = 0至少有一个负实根”. 若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数a 的取值范围. 命题p 为真命题⇔12
a >. …………………3分
关于x 的方程ax 2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根⇔关于x 的方程ax 2 + 2x + 1 = 0有两个负实根或一
正一负两根或只有一根且为负数. …………………5分
①方程有两个负实根0,
440,20,10a a a a
≠⎧⎪∆=-≥⎪⎪
⇔⎨-<⎪⎪>⎪⎩ ⇔01a <≤； …………………7分
②方程有一正一负两根⇔0a <； …………………9分 ③方程只有一个根且为正数⇔0a =. …………………10分 故命题q 为真命题⇔1a ≤. …………………11分
因为“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，
所以命题p 与q 恰有一个为真命题. …………………12分 若p 真q 假，则1a >；若p 假q 真，则12
a ≤. …………………13分
故实数a 的取值范围是(
1,(1,)2⎤-∞+∞⎥⎦
U . …………………14分 19. 已知圆A ：2
2
(1)4x y -+=与x 轴负半轴交于B 点，过B 的弦BE 与y 轴正半轴交于D 点，且2BD=DE ，曲线C 是以A ，B 为焦点且过D 点的椭圆。
（1）求椭圆的方程；（2）点P 在椭圆C 上运动，点Q 在圆A 上运动，求PQ+PD 的最大值。
(1)(
)1,0, D ,B ⎛
- ⎝⎭
椭圆方程为22
3314
x y += 7分
（2）(2)()2PQ PD PA PD PA PD +≤++=++
33
PA PD PB PD DB +=
-+≤+＝
所以P 在DB 延长线与椭圆交点处，Q 在PA 延长线与圆的交点处，
得到最大值为2+。
15
分
20. 以下给出的是用条件语句编写的程序，根据该程序回答 READ x
IF x<a THEN 2
y x ax b =-++ ELSE END IF
PRINT y END
(Ⅰ) 求证：输入x 的值互为相反数则输出的y 值也互为相反数的充要条件是02
2=+b a ；
)(||||)(x f x x x x x f -=-=--=-Θ，对一切x ∈R 恒成立， )(x f ∴是奇函数
必要性：若)(x f 是奇函数，则对一切x ∈R ，)()(x f x f -=-恒成立，即 令.0,,0=-==b b b x 所以得
再令.0,0,0||2,2
2
=+=∴==b a a a a a x 即得。