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(第9题)
江苏省南通中学2008-2009学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
一、填空题(每小题5分,共70分) 1.命题:“若12
<x ,则11<<
-x ”的逆否命题是 .
若11-≤≥x x ,或,则12
≥x
2.已知命题tan 1p x R x ∃∈=:,使,命题2320q x x -+<:
的解集是{|12}x x <<,下列结论:①命题“p q ∧”是真命题; ②命题“p q ∧⌝”是假命题;
③命题“p q ⌝∨”是真命题; ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是 ①②③④ .
4.用如下方法从1004名工人中选取50代表:先用简单随机抽样从1004人中剔除4人, 剩下的1000人再按系统抽样的方法选取50人.则工人甲被抽到的概率为 . 5.已知命题
p :1sin ,≤∈∀x R x , 1sin ,:>∈∃⌝x R x p
6.椭圆2
2
1x my +=的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则
m 的值
为
1
4。
围是
7.命题“ax 2-2ax + 3 > 0恒成立”是假命题..., 则实数a 的取值范▲ .
(-∞,0)∪[3,+∞)
8.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于6
5
的概率是_________
25
72
_____ 9.右边程序执行后输出的结果是 0
10.“12a b ≠≠或”是“3a b +≠”成立的 条件.
(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)必要不充分 11. 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图: 甲 乙
5
6
9 6 7 0 9
9 8 1 8 3 6 8 5 4 1 9 3 8 8 9 9 10 3 9 9 11
甲、乙同学中 数学成绩发挥比较稳定.
12.若存在实数
[]1,1p ∈-,使得不等式()2330px p x +-->成立,则实数x 的取值范围为
13x x <->或 。
13.用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则三个矩形颜色都不相同的概率为 ▲ .
14.定义函数CONRND(,a b )是产生区间(,a b )内的任何一个实数的随机数函数.如图所示的程序框图可用来估计π的值.现在N 输入的值为100,结果m 的输出值为21,则由此可估计π的近似值
为 ▲ .
二、解答题(第15、16题14分,第17、 18题15分,第19、20题16分)
15.为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举行了一次“环保知识竞赛”,共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图,解答下列问题:
(Ⅰ)填充频率分布表的空格
(将答案直接填在
表格内); (Ⅱ)补全频数条形图; (Ⅲ)若成绩
在?分的学生为二等奖,问获得二等奖的学生约为
多少人? 解:(1) ---------------------4
分
(2) --------------------------------8分
(3) 成绩在?分的学生占?分的学生的
510
,因为成绩在?分的学生频率为 ,所以成绩在?分的学生频率为 ,---------10分
成绩在?分的学生占?分的学生的
10
5
,因为成绩在?分的学生频率为 ,所以成绩在?分的学生频率为 -------------12分
所以成绩在?分的学生频率为, 由于有900名学生参加了这次竞赛,
所以该校获得二等奖的学生约为?900=234(人) ------------------14分
分组 频数 频率 ? 4
?
? 10
? 16
? 合计
50 分组 频数 频率 ? 4 ? 8 ? 10 ? 16 ? 12 合计
50
结束
输出m
否
是
开始 第10题图
1
m m ←+1
i i ←+输入N
1
i ←0
m ←i N
≤(1,1)(1,1)
A CONRND
B CONRND ←-←-22
1
A B +>是
否
16. 已知||2,||2x y ≤≤,点P 的坐标为(,).x y
(I )求当,x y ∈R 时,点P 满足()2
22(2)4x y -+-≤的概率;
(II )求当,x y ∈Z 时,点P 满足()222(2)4x y -+-≤的概率。
解:(1)如图,点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界),满足()2
22(2)4x y -+-≤ 的点
的区域为以(2,2)为圆心,2为半径的圆面(含边界).
∴所求的概率211
24.4416
P ππ⨯=
=⨯ ……………7分 (2)满足,x y ∈Z ,且||2,||2x y ≤≤的点有25个,
满足,x y ∈Z ,且()2
2
2(2)4x y -+-≤的点有6个,
∴所求的概率26
.25
P =
……………15(分) 17.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗Y (吨标准煤)
(1) (2) 请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx
a =+; (3) 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性
同归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×+4×3+5×4+6×=。
参考公式:用最小二乘法求线性同归方程系数公式
1
2
2
1
ˆˆˆ, n
i i
i n
i
i x y nx y
b
a
y bx x
nx ==-==--∑∑) 15.解:(1)图略
(2)经计算 4
4
21
1
4.5, 3.5,
86,66.5i
i i i i x y x
x y ======∑∑
(3)当100x =时,ˆ70.35y
=,降低了标准煤9070.35
-18.已知命题p :“方程22112
y x a +
=是焦点在y 轴上的椭圆”,命题q :
“关于x 的方程ax 2 + 2x +1 = 0至少有一个负实根”. 若“p 且q ” 是假命题,“p 或q ”是真命题,求实数a 的取值范围. 命题p 为真命题⇔12
a >. …………………3分
关于x 的方程ax 2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根⇔关于x 的方程ax 2 + 2x + 1 = 0有两个负实根或一
正一负两根或只有一根且为负数. …………………5分
①方程有两个负实根0,
440,20,10a a a a
≠⎧⎪∆=-≥⎪⎪
⇔⎨-<⎪⎪>⎪⎩ ⇔01a <≤; …………………7分
②方程有一正一负两根⇔0a <; …………………9分 ③方程只有一个根且为正数⇔0a =. …………………10分 故命题q 为真命题⇔1a ≤. …………………11分
因为“p 且q ” 是假命题,“p 或q ”是真命题,
所以命题p 与q 恰有一个为真命题. …………………12分 若p 真q 假,则1a >;若p 假q 真,则12
a ≤. …………………13分
故实数a 的取值范围是(
1,(1,)2⎤-∞+∞⎥⎦
U . …………………14分 19. 已知圆A :2
2
(1)4x y -+=与x 轴负半轴交于B 点,过B 的弦BE 与y 轴正半轴交于D 点,且2BD=DE ,曲线C 是以A ,B 为焦点且过D 点的椭圆。
(1)求椭圆的方程;(2)点P 在椭圆C 上运动,点Q 在圆A 上运动,求PQ+PD 的最大值。
(1)(
)1,0, D ,B ⎛
- ⎝⎭
椭圆方程为22
3314
x y += 7分
(2)(2)()2PQ PD PA PD PA PD +≤++=++
33
PA PD PB PD DB +=
-+≤+=
所以P 在DB 延长线与椭圆交点处,Q 在PA 延长线与圆的交点处,
得到最大值为2+。
15
分
20. 以下给出的是用条件语句编写的程序,根据该程序回答 READ x
IF x<a THEN 2
y x ax b =-++ ELSE END IF
PRINT y END
(Ⅰ) 求证:输入x 的值互为相反数则输出的y 值也互为相反数的充要条件是02
2=+b a ;
)(||||)(x f x x x x x f -=-=--=-Θ,对一切x ∈R 恒成立, )(x f ∴是奇函数
必要性:若)(x f 是奇函数,则对一切x ∈R ,)()(x f x f -=-恒成立,即 令.0,,0=-==b b b x 所以得
再令.0,0,0||2,2
2
=+=∴==b a a a a a x 即得。