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突破26 摩擦力做功与能量的关系 滑块模型
1．两种摩擦力做功的比较 静摩擦力做功
滑动摩擦力做功 只有能量的转移，没有能量的转化
既有能量的转移，又有能量的转化 互为作用力和反作用力的一对静
摩擦力所做功的代数和为零，即要么一正一负，要么都不做功
互为作用力和反作用力的一对滑动摩擦力所做功的代数和为负值，即要么一正一负，要么都做负功；代数和为负值说明机械能有损失——转化为内能 学科，网
2．求解相对滑动物体的能量问题的方法
(1)正确分析物体的运动过程，做好受力分析。

(2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系。

(3)然后根据功的公式和功能关系解题。

3. 解题技巧
（1）动力学分析：分别对滑块和木板进行受力分析，根据牛顿第二定律求出各自的加速度；从放上滑
块到二者速度相等，所用时间相等，由t ＝Δv 2a 2＝Δv 1a 1
可求出共同速度v 和所用时间t ，然后由位移公式可分别求出二者的位移。

（2）功和能分析：
对滑块和木板分别运用动能定理，或者对系统运用能量守恒定律。

如图所示，要注意区分三个位移：
①求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x 滑；
②求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x 板；
③求摩擦生热时用相对滑动的位移x 相。

易错警示
(1)无论是计算滑动摩擦力做功，还是计算静摩擦力做功，都应代入物体相对于地面的位移。

(2)摩擦生热ΔQ ＝F f l 相对中，若物体在接触面上做往复运动时，则l 相对为总的相对路程。

【典例1】 如图所示，质量为M ＝8 kg 的长木板放在光滑水平面上，在木板左端施加F ＝12 N 的水平推力，当木板向右运动的速度达到v 0＝1.5 m/s 时，在其右端轻轻放上一个大小不计、质量为m ＝2 kg 的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数μ＝0.2，木板足够长，取g ＝10 m/s 2。

求：
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(1)当二者达到相同速度时，木板对铁块以及铁块对木板所做的功；
(2)当二者达到相同速度时，木板和铁块之间因摩擦所产生的热量。

【答案】 (1)9 J －13.5 J
(2)4.5 J
铁块对木板做的功W 2＝－μmgx 2＝－13.5 J 。

(2)木板和铁块之间因摩擦所产生的热量Q ＝μmg (x 2－x 1)＝4.5 J 。

【典例2】 如图所示，一个可视为质点的质量为m ＝1 kg 的小物块，从光滑平台上的A 点以v 0＝2 m/s 的初速度水平抛出，到达C 点时，恰好沿C 点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D 点的质量为M ＝3 kg 的长木板。

已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.3，圆弧轨道的半径为R ＝0.4 m ，C 点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力，g 取10 m/s 2。

求：
(1)小物块刚要到达圆弧轨道末端D 点时对轨道的压力；
(2)要使小物块不滑出长木板，木板长度的最小值。

【答案】 (1)60 N ，方向竖直向下 (2)2.5 m
【解析】 (1)小物块在C 点时的速度大小
v C ＝v 0cos 60°
小物块由C 到D 的过程中，由机械能守恒定律得
mgR (1－cos 60°)＝12mv D 2－12
mv C 2
3 代入数据解得v D ＝2 5 m/s
小物块在D 点时由牛顿第二定律得
F N －mg ＝m v D 2R
代入数据解得F N ＝60 N
由牛顿第三定律得F N ′＝F N ＝60 N ，方向竖直向下。

(2)设小物块刚好能滑到长木板左端且达到共同速度的大小为v ，滑行过程中，
小物块与长木板的加速度
【跟踪短训】
1. (多选)如图，质量为M 、长度为L 的小车静止在光滑水平面上，质量为m 的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。

现用一水平恒力F 作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动。

小物块和小车之间的摩擦力为F f ，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x 。

此过程中，下列结论正确的是(
)
A ．小物块到达小车最右端时具有的动能为(F －F f )(L ＋x )
B ．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为F f x
C ．小物块克服摩擦力所做的功为F f (L ＋x )
D ．小物块和小车增加的机械能为Fx
【答案】ABC
【解析】 由动能定理可得小物块到达小车最右端时的动能E k 物＝W 合＝(F －F f )·(L ＋x )，A 正确；小车的动能E k 车＝F f x ，B 正确；小物块克服摩擦力所做的功W f ＝F f (L ＋x )，C 正确；小物块和小车增加的机械能为F (L ＋x )－F f L ，D 错误。

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2. (多选) 将一长木板静止放在光滑的水平面上，如图5甲所示，一个小铅块(可视为质点)以水平初速度v 0由木板左端向右滑动，到达右端时恰能与木板保持相对静止。

现将木板分成A 和B 两段，使B 的长度和质量均为A 的2倍，并紧挨着放在原水平面上，让小铅块仍以初速度v 0由木板A 的左端开始向右滑动，如
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图乙所示。

若小铅块相对滑动过程中所受的摩擦力始终不变，则下列有关说法正确的是(
)
图5
A.小铅块将从木板B 的右端飞离木板
B.小铅块滑到木板B 的右端前就与木板B 保持相对静止
C.甲、乙两图所示的过程中产生的热量相等
D.图甲所示的过程产生的热量大于图乙所示的过程产生的热量
【答案】
BD
3. (多选) 如图所示，长为L 、质量为M 的木板静置在光滑的水平面上，在木板上放置一质量为m 的物块，物块与木板之间的动摩擦因数为μ。

物块以初速度v 0从木板的左端向右滑动时，若木板固定不动时，物块恰好能从木板的右端滑下。

若木板不固定时，下面叙述正确的是(
)
A ．物块不能从木板的右端滑下
B ．对系统来说产生的热量Q ＝μmgL
C ．经过t ＝Mv 0(M ＋m )μg
物块与木板便保持相对静止 D ．摩擦力对木板所做的功等于物块克服摩擦力所做的功
【答案】 AC
【解析】 木板固定不动时，物块减少的动能全部转化为内能。

木板不固定时，物块向右减速的同时，木板要向右加速，物块减少的动能转化为系统产生的内能和木板的动能，所以产生的内能必然减小，物块相对于木板滑行的距离要减小，不能从木板的右端滑下，故A 正确。

对系统来说，产生的热量Q ＝F f x 相对＝μmgx 相对<μmgL ，故B 错误。

设物块与木板最终的共同速度为v ，物块和木板组成的系统动量守恒，取向右为正方向，根据动量守恒定律，有：mv 0＝(m ＋M )v ，对木板，由动量定理得：μmgt ＝Mv ，联立解得t ＝
Mv 0(M ＋m )μg
，故C 正确。

由于物块与木板相对于地的位移大小不等，物块对地位移较大，而摩擦力大小相等，
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所以摩擦力对木板所做的功小于物块克服摩擦力所做的功，故D 错误。

4. 如图所示，一质量为m ＝1.5 kg 的滑块从倾角为θ＝37°的斜面上自静止开始滑下，滑行距离s ＝10 m 后进入半径为R ＝9 m 的光滑圆弧AB ，其圆心角为θ，然后水平滑上与平台等高的小车。

已知小车质量为M ＝3.5 kg ，滑块与斜面及小车表面的动摩擦因数μ＝0.35，地面光滑且小车足够长，取g ＝10 m/s 2。

(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)滑块在斜面上的滑行时间t 1；
(2)滑块脱离圆弧末端B 点前，轨道对滑块的支持力大小；
(3)当小车开始匀速运动时，滑块在小车上滑行的距离s 1。

【答案】：(1)2.5 s (2)31.7 N (3)10 m
【解析】：(1)设滑块在斜面上滑行的加速度为a ，由牛顿第二定律，有
mg (sin θ－μcos θ)＝ma ，
s ＝12at 12
小车的加速度：a 2＝m M μg ＝1.5 m/s 2
小车与滑块达到共同速度时小车开始匀速运动，满足
v B －a 1t 2＝a 2t 2
解得：t 2＝2 s
故滑块刚滑上小车的速度v B ＝10 m/s ，最终同速时的速度v ＝3 m/s
由功能关系可得：μmg ·s 1＝12mv B 2－12(m ＋M )v 2
6 解得：s 1＝10 m 。