2015年西华大学专升本《高等数学》考试题
一、判断正误（每小题2分，共10分）
1、若级数1n n a
∞=∑收敛，则1(1)n n n a ∞=-∑收敛。

（ 正确 ）
2、函数2x
y x e =是微分方程20y y y '''-+=的解。

（ 错误 ）
3、无穷小量的倒数是无穷大量。

（ 错误 ）
4、方程2
2
19z x +=在空间中所表示的图形是椭圆柱面。

（ 正确 ） 5、n 元非齐次线性方程组AX B =有唯一解的充要条件是()r A n =。

（ 正确 ）
二、填空题：（每题4分，共16分）
1、已知()f x 是R 上的连续函数，且(3)2f =，则2323212lim ()(1)51x x x x f x x x
→∞-+-=++ 。

【62e -】 2
、由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分
dz = 。

【dz dx =】 3、改变二次积分22
20(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的次序，I = 。

【402(,)x I dx f x y dy =⎰⎰】
4、若22(sin )tan f x x '=（01x <<），则()f x = 。

【ln(1)x x C ---+】
三、求解下列各题（每小题6分，共60分）
1、求极限220tan lim 1cos x x x tdt x →-⎰。

【2】
2、设1sin ,0()0,0
x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求)(x f '。

【当0x ≠时，111()sin
cos f x x x x
'=-，当0x =时，()f x '不存在。

】 3
、求不定积分5cos ⎰。

【C =】 4、求曲线sin ,2x y x z ==在点(,0,)2ππ处的切线与法平面方程。

【切线方程：2111x y z ππ--==-； 法平面方程：1()()022
x y z ππ--+-=】 5、求微分方程2dx xydy y dx ydy +=+的通解。

(1)c x =-】 6、求由曲线2y x =、2x y +=及x 轴所围成的区域绕x 轴所成立体的体积。

π511 7、当,a b 为何值时，线性方程组1234512345234512345323022654332
x x x x x a x x x x x x x x x b
x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩有解，并求其全部解。

【知识点】非齐次线性方程组解的判定定理、非齐次方程组的通解。

解析：11111
32113001226543312a A b ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭11111012263000003000002(1)a a b a a ⎛⎫ ⎪----- ⎪→ ⎪- ⎪-⎝⎭ 当2(1)0,30a b a -=-=，即1,3a b ==时，方程组有无穷多解。

取345,,x x x 为自由变量，令3450x x x ===得非齐次特解：0(2,3,0,0,0)T x =-；
令3451,0,0x x x ===，3450,1,0x x x ===，3450,0,1x x x ===的基础解系： 1(2,2,1,0,0)T α=-，2(2,2,0,1,0)T α=-，1(5,6,0,0,1)T α=-；
故，非齐次线性方程组的通解为：0112233x x k k k ααα=+++。

8、计算二重积分22ln(1)D
x y dxdy ++⎰⎰，其中222:(0),0,0D x y R R x y +≤>≥≥。

【知识点】极坐标系下的二重积分。

])1ln()1[(4222R R R -++π
9、计算曲线积分22L
y xdx x ydy -⎰，其中L 是圆周222x y a +=，逆时针方向为正。

【0】 10、判别级数的敛散性：
（1）1!n n n n ∞
=∑（收） （2）11cos 4n n n ππ∞=∑（收） 四、证明题（每小题7分，共14分）
1、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()2015()0f f ξξ'+=。

【知识点】罗尔定理。

2、证明：对02x π
∀<<，有2tan cos x x x x
<<。

【知识点】拉格朗日中值定理。