模拟试题一一、 填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。

P( A ∪B) = 。

2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ； 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。

9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、 计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。

1）求参数θ的极大似然估计量ˆθ； 2）验证估计量ˆθ是否是参数θ的无偏估计量。

三、 应用题（20分）1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。

如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。

现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？ 2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X 服从正态分布。

现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)？ 附表：0.9750.950.9750.950.9750.951.96 1.65,4 2.776,4 2.132, 2.571,4 2.015,()()(5)()t t t t u u ======答 案（模拟试题一）四、 填空题（每空3分，共45分）1、0.8286 ， 0.988 ；2、 2/3 ；3、14212661112C C ⨯，61266!12C ； 4、 1/2, F (x )= 1,021,02241,2xe x xx x ⎧≤⎪⎪⎪+<≤⎨⎪>⎪⎪⎩， {0.51}P X -<<= 0.53142e --；5、p = 1/3 ， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 1 2P 8/27 16/27 3/27；6、D(2X-3Y)= 43.92 , COV(2X-3Y, X)= 3.96 ；7、当k~(3)Y t =；8、θ的矩估计量为：2X 。

9、 [9.216，10.784]；五、 计算题（35分）1、解 1） 9{|21|2}{0.5 1.5}16P X P X -<=-<<=2）(0()0,01,0440,X X Y y y y y ϕϕϕ+>=≤⎩⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它3）45(21)212133E X EX -=-=⨯-=2、解：1）1,02,02()(,)420,0,x X xx dy x x x x y dy ϕϕ+∞--∞⎧⎧<<<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它2||11,||2(2||),||24()(,)40,0,y Y dx y y y y x y dx ϕϕ+∞-∞⎧⎧<-<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它 2）显然，(,)()()X Y x y x y ϕϕϕ≠，所以X 与Y 不独立。

又因为EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X 与Y 不相关。

3）22()(,)11,04,044280,0,Z z z x z x dxz dx z z ϕϕ+∞-∞=-⎧⎧<<-<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它3、解1）112111(,,,,)niii x x nn ni L x x x eeθθθθθ=--=∑==∏12ln (,,,,)ln n nxL x x x n θθθ=--令2ln 0d L n nxd θθθ=-+= 解出：ˆX θ= 2）ˆE EX EX θθ=== ˆθθ∴是的无偏估计量。

六、 应用题（20分）1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。

如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。

现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？ 解：设事件A1，A2，A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B 表示“迟到”，已知概率{|},1,2,3,4i P B A i =分别等于1/4，1/3，1/2，0 则41{)()(|)i i i P B P A P B A ===∑23120111()(|)9(|)()23P A P B A P A B P B ==，222()(|)8(|)()23P A P B A P A B P B ==333()(|)6(|)()23P A P B A P A B P B ==，444()(|)(|)0()P A P B A P A B P B == 由概率判断他乘火车的可能性最大。

2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X 服从正态分布2(,)N a σ。

现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)？ 解：0:0.5H a ≤（‰），1:0.5H a >拒绝域为：00.95(4)}x t χ=> 计算0.5184,0.018x s ==0.952.2857(4)x t t ==>， 所以，拒绝0H ，说明有害物质含量超过了规定。

附表：0.9750.950.9750.950.9750.951.96 1.65,4 2.776,4 2.132, 2.571,4 2.015,()()(5)()t t t t u u ======模拟试题二一、填空题(45分，每空3分)1．设()0.5,(|)0.6,()0.1,P A P B A P AB === 则()P B = ，()P AB = 。

2．设,,A B C 三事件相互独立，且()()()P A P B P C ==，若37()64P A B C ⋃⋃=，则()P A = 。

3．设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用X 表示取出的3件产品中的次品件数，则X 的分布律为。

4．设连续型随机变量X 的分布函数为 ()arctan(),F x A B x x R =+∈则(,)A B = ，X 的密度函数()x ϕ= 。

5．设随机变量~[2,2]X U -，则随机变量112Y X =+的密度函数 ()Y y ϕ= 。

6．设,X Y 的分布律分别为X -1 0 1 Y 0 1 P 1/4 1/2 1/4 P 1/2 1/2且{0}0P X Y +==，则(,)X Y 的联合分布律为； 和{1}P X Y +== 。

7．设(,)~(0,25;0,36;0.4)X Y N ，则cov(,)X Y = ，1(31)2D X Y -+= 。

8．设1234(,,,)X X X X 是总体(0,4)N 的样本，则当a = ，b = 时，统计量221234(2)(34)X a X X b X X =-+-服从自由度为2的2χ分布。

9．设12(,,,)n X X X 是总体2(,)N a σ的样本，则当常数k = 时，221ˆ()ni i k X X σ==-∑是参数2σ的无偏估计量。

10．设由来自总体2~(,0.9)X N a 容量为9的样本，得样本均值x =5，则参数a 的置信度为0.95的置信区间为 。

二、计算题(27分)1．(15分)设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为1(),02,02(,)80,x y x y x y ϕ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（1） 求X Y 与的边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； （2） 判断X Y 与是否独立？为什么？ （3） 求Z X Y =+的密度函数()Z z ϕ。

2．(12分)设总体X 的密度函数为(),()0,x e x x x θθϕθ--⎧≥=⎨<⎩ 其中0θ>是未知参数，12(,,,)n X X X 为总体X 的样本，求（1）参数θ的矩估计量1ˆθ； （2）θ的极大似然估计量2ˆθ。

三、应用题与证明题(28分)1．(12分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有3件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后， （1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。