^
然后根据 和 g! 。
g = G Y+ X 和
^
^
g!= Gp Y + X ! 即可以计算 g
^
2. 2 半参数模型的解算方法
一般最小二乘配置模型 : L = nB X + nG Y+ n ∀1 ∀m m ∀ 1 ∀ 1 t∀ 1
[ 2]
( 17)
式中, L 为观测向量 ; Y 为随机参数向量; X 为信号; 为观 T 测噪声; X = (X 1, X 2 ) ; X 1 为观测点信号 ; X 2 为未测点信 号。 rank(B ) = m; rank(K ) = t , 和 X 的随机特性为 : E ( ) = 0, D = 0 p , EX = E (X 1, X 2 ) 与式 ( 17) 对应的误差方程为 :
- 1. 806 2 ) ; 未测点 P ! 1 和 P! 2 的重力异常估值为: ( - 0. 824 5 - 0. 639 7)
3. 2 实例 2
本例取自参考文献 [ 3], 图 1为某工程四等 GPS网的 一部分, 其中包含 7个进行了三等水准联测的点。表 2列 出了 7 个 GPS 点的平面 位置及 正常高、 大 地高和 高程 异常。
摘
要: 针对重力高程异常估值的计算, 采用半参数模型 L = BX + S +
和最小二乘配置模型两种方法来计算, 通
过算例比较, 分析半参数模型和最小二乘配置法的区别与联系。 关键词: 半参数; 最小二乘配置; GPS 中图分类号: P223 文献标识码: B 文章编号: 1672- 5867 ( 2010) 05 - 0206- 03
^- L V = BX^ + G Y
2 -1 T
2 最小二乘配置模型和半参数模型的解算 方法
2. 1 最小二乘配置模型的解算方法
仍用 Lx, Lx!表示 被当作虚拟观测值的先验 期望 x , , 将信号 X, X ! 当作非随机参数 , 按广义最小二乘原理 , x! 可写出观测方程
[ 1]
( 18)
T
3 实例比较
( 8)
-
D x !x - D
x
Dx! -D
x!
- D x! D
3. 1 实例 1
本实例取自参考文献 [ 1], 设已知 P 1 ~ P4 4个观测点 的重力异常观测值 L 和它们的坐标 xi , y i ( 见表 1), 观测误 差 (噪声 )的方差为 D = ( 0. 03 ) E, 试求 P 1 ~ P 4 和未测 点的重力异常估值。 表 1 P 1 ~ P4 观测点的重力异常和平面位置 Tab . 1 The gravity abnorm al and horizontal po sition of the observa tion points of P1 ~ P4
点号 P1 P2 L ( mG al) - 0. 55 - 0. 23 0. 58 - 1. 8 x( m ) 640 440 140 620 500 460 y (m ) 480 400 140 180 300 300
2
L = GY + X + a2 ] : 1 x1 - x 0 y1 - y 0 1 x2 - x 0 1 x3 - x 0 1 x4 - x 0 y2 - y 0 y3 - y 0 y4 - y 0
T -1 T
(L - BX )
( 7)
式中, M = B (B PB + ! R ) B P。这样当正规化矩阵 R 正 定时, 根据实际问题, 通过选取适当的平滑因子 !和正规 化矩阵 R, 就可以得到 X, Y 的唯一解。
^ ^
V = BX + G Y - L 此时观测值 Lx , Lx, L 的方差阵为: Dx D xx ! - Dx D = 列观测方程: 式中 Y = [ a0 a1
T -1 T T -1 T Y^ = (G P (I - M )G ) G P ( I - M )L ^ - 1 -1 -1 ^
( 6)
( 20) ( 21) ( 22)
L = BX + G Y + 相应有误差方程: Vx = X^ - Lx Vx ! = X^!- Lx !
^ ^
X = PXX ! (PXX ! + P )
T
1. 2 最小二乘配置模型
若设重力异常的随机部分 (信号 ) nX , 若在这 n 个点 ∀1 上得到了重力异常观测值 nL , 噪声 (观测误差 ) 为 n ∀1, 则 ∀1 在这几个观测点上的重力异常值 g 应为 : g = L - = GY + X ( 3)
1 半参数模型和最小二乘配置模型
1. 1 半参数模型
第 33 卷 第 5 期 2010 年 10 月
测绘与空间地理信息
GEOMAT ICS & SPAT IAL I N FORMAT ION TECHN OLOGY
Vo. l 33, N o . 5 O ct . , 2010
半参数模型与最小二乘配置模型的比较
米 川, 张永杰
(河南省地质测绘总院 , 河南 郑 州 450006)
工作。
第 5期
式中, Gp 与 G 的计算公式相似。 由式 ( 3) 式可得到观测方程
[ 1]
米
川等 : 半参数模型与最小二乘配置模型的比较 X ! = D x !, x (D x + D )
^
-1
207
(L - G Y )
^ ^
( 16)
:
L = GY + X + ( 5) 用最小二乘配置法求重力异常, 就是以 ( 5) 式为数学 模型来确定信号 X, X ! 和倾向参数 Y ! 的最佳估值 X^, X^! 和 Y, 然后由 ( 3)和 ( 4) 两式求得各点的重力异常最佳估值。 在数学模型 ( 5 ) 中, 既包含有倾向参数 Y, 又包含有信号 X。这种同时求定不考虑随机性的倾向参数 Y 和具有随 机性信号的最优估值的方法, 就是最小二乘配置法, 简称 为配置法, 也称为拟合推估。
Bn ) 均为 n 维列向量, 在上述模型中如果
的数学期望
E ( ) = S 0, 那么该模型中就包含有系统误差; 为了将系 统误差从偶然误差中提取出来 , 可以在 ( 1)模型中引入非 参数分量 S, = S + ! , 则式 ( 1)可改写为 : L = BX + S + ! ( 2) 2 2 - 1 式中, ! 表示偶然误差, E ( ) != 0, D = D = 0 Q = 0P , S = ( s1 , s2, , sn ) 为一个描述模型误差或观测值系统误 差的 n维未知非随机向量 , Si 表示第 i 个观测值中的系统 误差 ( i = 1 , 2 , , n), 通常称之为非参数分量 ; p 为对称正 定矩阵, 是观测值 L 的权。这样在观测方程中既有参数分 量又有非参数分量, 因此式 ( 2)被称为半参数模型。
0 引
言
式中, 式中 L = ( l1 ,
T
L = BX + T , ln ) , ( 1 ,
,
n
) , B = (B 1,
T
Hale Waihona Puke ( 1) ,随着现代测量技术的发展 , 经典的参数数据处理方 法有时不能满足精度的要求, 尤其是当测量数据中包含 不可消除的复杂的系统误差时。因此 20世纪 80年代发 展起来的半参数模型越来越受到关注。到目前为止 , 对 半参数模型的研究 , 归纳起来主要的估计方法有 : 补偿最 小二乘法、 二阶段估计法、 两步估 计法和稳健 - M 估计 等。但所用的参数和语言都是纯数学的、 相对抽象的, 与 具体应用中的实际意义关系不大。例如 , 补偿最小二乘 准则中的两个重要量: 光滑因子和正则矩阵 ; 偏核光滑估 计中的光滑矩阵, 这些量都是一些纯数学含义的量, 没有 很直接的测量上的意义。同时这些方法的研究更多的是 集中于由于非参数分量的引入, 函数方程如何求解的问 题上, 对系统误差仍然有过多的假设。这里就是通过算 例对半参数模型和最小二乘模型进行比较 , 得出半参数 模型更适合于对重力高程拟合的计算。
Y = {G (D x + D ) G } G (D x + D ) L D Y^ = {G (D x + D ) G }
^, X^ ! 计算信号的估值 X : ^
T -1 - 1
^
T
- 1
-1
T
- 1
( 13) ( 14)
X = D x (D x + D )
- 1
(L - G Y )
^
( 15)
方法一 用最小二乘配置法的解算: 我们这里解算信号方差 D x, D x!和协方差 D x !x 按希尔 D ( 0) 沃年公式 D ( s) = 2 , 从而利用公式 ( 13 ~ 16 ) 可以得 s 1+ 2 d
g != ( - 0 . 815 5 - 0. 639 5) 方法二 用半参数模型解算: -1 正规化矩阵选用距离法中 规定的选取方法 , R = (Sij ) n ∀ n , 利用广义交叉核实法 , 选取平滑因子 , 计算平滑 因子 != 1, 由式 ( 20), ( 21), ( 22)计算得: Y= ( - 7 . 947 0 - 2. 195 5 0. 535 2) , X = ( - 5. 491 9 - 9 . 194 0 - 13. 535 0 T - 5 . 598 1) , X^ ! = ( - 8. 532 8 - 9 . 411 0)
T T
^
- 0. 203 4
T
0. 083 8 - 0 . 074 5) , X^!= ( - 0 . 142 6 - 0. 163 0) , P 1 ~ P 4 的重力异常估值为: