, k ln r '' 则 f (t ) A a
曲线式。
A a
e kt
此式即为Compertz
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第三节 连年生长量与平均生长量的关系 Relationship between Annual Increment and Mean Annual Increment
· · · ·· · ·· · ·
t
12
（2） y 是关于t的单调增函数
由公式（1），树木生长速度为
dy 1 yr (1 y) dt k
y k
dy dt 0
即y 是关于t 的增函数
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（3）曲线存在一个拐点 求y对t 的二阶导数方程
令
d y y 2y 2 r y(1 )(1 ) 2 dt k k d2y y 0 y k 1 0 2 k dt
被积函数化为部分分式： 令
1 y(1 1 y) k A B y 1 1 y k
欲使上式成立有：
A 1 1 B A 0 K
右边积分：
解得 A=1
B=1/K
9
rdt rt c
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c为积分常数
代入，有
y ln rt c ky
从而得到方程的（1）的隐式通解。为了确定积分常数c ， ( y0 0) 代入初始条件，当t=0时， y=y0 y0 于是 C ln k y0 代入通解
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df d [ A(1 e kt )] dt dt A>0, k>0 kt kAe 0
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（3）单分子式生长曲线不存在拐点
d 2t 2 kt k A e 0 2 dt
3.单分子生长方程的拟合
求解差分方程参数 r、b 令
x t f (t) y 't f ( t 1)
移项：
y0 y ln rt ln ky k y0
y0 y ln ln rt ky k y0 k y0 y e rt y0 ky
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令
k y0 m y0
则
y rt m e ky m y e rt (k y ) k e k y rt me 1 m ert
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一、罗缉斯谛（Logistic）方程及拟合法
1、方程的导出 设y（t）为树木的生长方程，且令树木 单位时间的生长量（即生长速度）为 dy ， 1 dy dt 相对生长速度（即生长率）为 y dt 由于树木在林地上的营养空间有限，树 木生长受到林木竞争的限制，且随树木调 查因子y（t）的增长而竞争加剧，使得该 树木的相对生长速度为y的递减函数。
c'A c
k ln r
'
A kt 1 ce
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此式即罗辑斯谛方程。
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变换二：对数变换
'' ln f ( t ) f (t ) 若把测定值f（t）做对数变换
才满足线性，则
f '' (t 1) r ''f '' (t ) b''
由（5）式的一般解
f ( t 1) rf ( t ) b
r〈1， b>0
（1）式称为线性一阶差分方程式。
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（1）
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以（1）式中的f（t）为x 轴，f（t+1）为y轴， 由此形成
[f（0）, f（1）],[f（1）, f（2）],· · · ,[f（t）, f （t+1）],· · · 的散点图称为差分图 f (t 1)
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f（t）满足（1）式，f（t）称为差分方程式（1） 的解，（2）式进一步整理： t 若令 A b

1 r f (t ) c0r b 1 r 1 r
t
(3)
则（3）式成为
t t t
f (t) c0r A Ar r (c0 A) A
令
c c0 A
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Z yt yt 1
2
4、定期平均生长量
树木在一定间隔期[t-n，t]内的平均生长速度，即定 期生长量 Z 被定期的年数n除之商。记为
n
y t y t n n n
n
生长比较缓慢的树种，相差一年的连年生长量一般不 易测准，故生产中常用定期（n=5或者10年）平均生长 量来代替连年生长量。
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方程（1）是变量可分离型一阶常微分方程， 用变量分离法解之： 首先进行变量分离
dy rdt 1 y (1 y) k
两边积分
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左边积分：
1 dy 1 k )dy ( y 1 1 y (1 y ) 1 y k k 1 1 dy dy y ky y ln y ln(k y ) ln ky
a lnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm
式中；
Sxy '
为协方差 为x的方差
S xy '
x
i
y i ' n x y ' n 1
2 i 2

S
2 x
S
回代即得出：
2 X
x
nx
n 1
m e , r b
a
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二、单分子生长式（Mitscherlich)
1.方程的导出 在树木生长过程中，假定在某一时刻（t+1）的大小 f（t+1）与其前一时刻的大小f（t）存在着下列关系：
则
f (t ) cr t A
（５）
（5）式即为（1）的一般解。
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再假设
k ln r
则
re
k
代入 （5）
f (t ) c e kt A (c 0 A)e kt A c 0 e kt A(1 e kt )
5、总平均生长量（简称为平均生长量）
指树木在[0，t]内的平均生长速度，即树木总生长量 yt 被t除之商，记为 。 y /t
t
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三、树木生长特点
树木生长是依靠细胞的增殖不断地扩大它的直径、 树高、材积等，由于细胞增殖的不可逆性，决定了树木 的生长是一各“纯生型” 的生长过程是一个“纯生型” 的生长过程。具有以下特点： 在树木幼年阶段，生长缓慢； k 在树木中年阶段，生长旺盛； y 在树木近、成熟阶段，生长 y(t ) 趋于停止。 上述特点，反映在总生长量 yt 与树木年龄t的关系，是一条被 拉常了的“s”型曲线。 0
第六章 生长概论 （Introduction of Increment)
第一节 树木生长量概念 （Conception of Tree Increment) 一、树木生长量的定义 在一定间隔内，树木各调查因子（D， H，V），所发生的变化称之为树木的生长， 其变化量称之为生长量。 显然，树木的生长量是随着时间的变化 而变化，是关于时间t的函数。
' '
'
其一般解可写成
f (t ) A c r
' '
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' 't
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把倒数变换复原，则：
1 1 1 f (t ) ' ' ' 't 1 f (t ) A c r c ' r 't A A ' 't 1 Ac r A 1 cr 't
1 A' A
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所以
当 n1 n ，则 Zn1 n1 ，亦即平均生长量在上升时 期，连年生长量就大于平均生长量。
1.
当 n1 n ，则 Zn1 n 1 ，亦即平均生长量在下降时 期，连年生长量就小于平均生长量。
2.
当 n1 n ，则 Zn1 n1 ， 平均生长量达最高峰时 期，连年生长量和平均生长量相等。此时，林地生产力最好， 称数量成熟。 生产方程受样本函数之影响，有些在连年生长量与平均 生长量的关系上也反映出无交点或多个交点的畸变现象。
t=1，2，· · · ，N-1
'
则形成线性回归方程
y rx b
k ln r
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用前述最小二乘法求解出r、b 再回代到
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Ab
1 r
变换一：倒数变换
若把测定值f（t）做倒数变换 1 f (t ) f ' (t )
才满足线性，则 '
f (t 1) r f (t ) b
f ( t 1) f ( t ) 差分图一定在 45 线的上面.
A
· · · · · · · ··
45
f (t )
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令 故：
f (0) c0
f (1) c0 r b f (2) r f (1) b c0 r 2 b(1 r ) f (3) r f (2) b c0 r 3 b(1 r r 2 ) ... f (t ) c0 r t b(1 r r 2 ... r t 1 ) （2）
复原为真数则
f (t ) A c r
'' ''
f '' ( t )
'' ''t
此时
c'' 0