《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。

（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。

2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量： 2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；⎰∞∞-=t t f E d )(2def③还有一些非周期信号，也是非能量信号。

例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )为非功率非能量信号; 3、典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+③抽样信号： sin ()tSa t t=欧拉公式：-cos +sin cos - sin 1cos ()21sin ()2j t j tj t j t j t j t e t j t e t j tt e e t e e j ωωωωωωωωωωωω--⎧=⎨=⎩⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4、信号的基本运算1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c) 尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。

正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。

5、阶跃函数和冲激函数 （1）单位阶跃信号00()10t u t t <⎧=⎨>⎩0t =是()u t 的跳变点。

（2）单位冲激信号定义：()1t dt δ∞-∞⎧=⎪⎨⎰ 0()f t t0α<0α>Kα=Ot()t f KωθTωπ2ωπ2t()t Sa 1ππ2π3Oπ-性质：1）取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞-∞∞-∞=-=⎰⎰()()(0)()f t t f t δδ=000()()()()f t t t f t t t δδ-=-2）偶函数 ()()t t δδ=-3）尺度变换 ()1()at t aδδ=4）微积分性质 d ()()d u t t tδ= ()d ()t u t δττ-∞=⎰（3）冲激偶 ()t δ'性质： ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=-()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰()d ()tt t t δδ-∞'=⎰()()t t δδ''-=- ()d 0t t δ∞-∞'=⎰（4）斜升函数 ()()()d tr t t t εεττ-∞==⎰（5）门函数 ()()()22G t t t τττεε=+--6、系统的特性 （重点：线性和时不变性的判断） （1）线性1）定义：若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性质。

当激励为1122()()C f t C f t +时，系统的响应为1122()()C y t C y t +。

2）线性系统①分解特性： )()()(t y t y t y zs zi += ②零输入线性 ③零状态线性（2）时不变性 :当激励为0()f t t -时，响应为0()y t t -。

（3）因果性 （4）稳定性（5）微、积分特性。

第二章 连续系统的时域分析1、时域分析法；强迫响应自由响应全响应)()()(t y t y t y p h +=；零状态响应零输入响应全响应)()()(t y t y t y zs zi +=（一般都可以通过复频域分析法求）零状态响应)()()(t h t f t y zs *=2、冲激响应与阶跃响应 （1）定义：冲激响应：由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应，记为h (t)。

阶跃响应：由单位阶跃函数ε(t )所引起的零状态响应，记为g (t)。

（2）关系：()()()(),t dg t h t g t h d dtττ-∞==⎰3、卷积积分（1）定义 ()()()()1212*f t f t f f t d τττ∞-∞=-⎰（ 两个因果信号的卷积，其积分限是从0到t ）（2）计算：一般计算用拉普拉斯变换；如果要计算某一个值，比如设()()()12*f t f t f t =，计算()3f ，用图示法。

图示法可分解为四步： 1）换元： t 换为τ→得 f 1(τ)， f 2(τ)2）反转平移：由f 2(τ)反转→ f 2(-τ) 右移t → f 2(t-τ) 3）乘积： f 1(τ) f 2(t-τ)4）积分： τ从-∞到∞对乘积项积分。

（3）性质：a ）代数律（交换律；结合律、分配律）b ）()()()*f t t f t δ=()()()00*f t t t f t t δ-=-)()(*)(2121t t t f t t t t f --=--δ()*()()t t t t εεε=()*()()d t f t t f εττ-∞=⎰c ）卷积的微分与积分：设()()()12*f t f t f t =，则()()()()()()12*i j i j f t f t f t -=d ）卷积结果函数定义域的确定设 ()1f t 的定义域为：[]12t t t ∈，()2f t 的定义域为：[]34t t t ∈，那么()()()12*f t f t f t =的定义域为：[]1324t t t t t ∈++第三章 离散系统的时域分析1、时域分析法全响应y(k)=自由响应y h (k)+强迫响应y p (k)全响应y(k)=零输入响应y zi (k)+零状态响应y zs (k) （一般都可以通过Z 域分析法求）零状态响应()()()*zs y k f k h k =2、序列δ(k )和ε(k )（1） 单位(样值)序列δ(k ) 定义：取样性质：（2）单位阶跃序列ε(k )（3）ε(k )与δ(k )的关系3、单位序列响应与阶跃响应 （1）定义冲激响应：由单位冲激函数δ(k)所引起的零状态响应，记为h (k)。

阶跃响应：由单位阶跃函数ε(k )所引起的零状态响应，记为g (k)。

（2）关系()()()k i j g k h i h k j ∞=-∞===-∑∑()()(1)h k g k g k =-- （3）两个常用的求和公式12211211111k k k jj k a a a a a k k a +=⎧-≠⎪=-⎨⎪-+=⎩∑ 212121()(1)2k j k k k k k j =+-+=∑(k2≥k1 )3、卷积和def 1,0()0,0k k k δ=⎧=⎨≠⎩()()(0)k f k k f δ∞=-∞=∑()()(0)()f k k f k δδ=000()()()()f k k k f k k k δδ-=-def 1,0()0,0k k k ε≥⎧=⎨<⎩0()()()i j k i k j εδδ∞∞=-∞===-∑∑()()(1)k k k δεε=--（1）定义 1212()*()()()i f k f k f i f k i ∞=-∞=-∑（2）计算：竖乘法、图解法和z 变换法。

有限长序列的卷积和用竖乘法；其他情况下一般用z 变换法计算，但如果只计算某一个值，比如设()()()12*f k f k f k =，计算()3f ，用图示法。

图示法可分解为四步： 1）换元：k 换为 i →得 f 1(i )、 f 2(i )2）反转平移：由f 2(i )反转→ f 2(-i )平移k → f 2(k -i ) 3）乘积：f 1(i ) f 2(k -i )4）求和： i 从-∞到∞对乘积项求和。

（3）性质a ）代数律（交换律；结合律、分配律）b ）f (k)*δ(k) = f (k) ， f (k)*δ(k – k 0) = f (k – k 0)f (k)*ε(k) =()ki f i =-∞∑f 1(k – k 1)* f 2(k – k 2) = f 1(k – k 1 – k 2)* f 2(k)c ）卷积和序列定义域的确定设()1f n 的定义域为：[]12n n n ∈，()2f n 的定义域为：[]34n n n ∈，那么()()()12*f n f n f n =的定义域为：[]1324n n n n n ∈++ d)卷积结果函数元素个数的确定若11() f k k 的元素个数为：，22() f k k 的元素个数为：，那么 ()()()12*f k f k f k =的元素个数为： 121k k +-第四章 傅里叶变换和系统的频域分析1、周期信号的傅里叶级数任一满足狄里赫利条件的周期信号()f t （1T 为其周期）可展开为傅里叶级数。

（1）三角函数形式的傅里叶级数0111()[cos()sin()]n n n f t a a n t b n t ωω∞==++∑ 式中112T πω=，n 为正整数。

傅里叶系数：直流分量01011()t T t a f t dt T +=⎰余弦分量的幅度01112()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=⎰正弦分量的幅度01112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰ 三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为011()cos()n n n f t a A n t ωϕ∞==++∑（2）指数形式的傅里叶级数1()jn tnn f t F eω∞=-∞=∑ 式中，n 为从-∞到+∞的整数。

傅里叶系数：011011()t T jn tn t F f t e dt T ω+-=⎰ （3）对称性利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算。