偏转角度规定逆时针方向旋转为正，顺时针方 向旋转为负： 1 ( ) 2
将前式代入，得
1 u y ux ( )dt z dt 2 x y
1 u y ux 是微团绕平行于oz轴的基点轴 z ( ) 2 x y 旋转的角度。
ay
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
u z u z u z u z ux uy uz t x y z
• 上述公式也可表示如下形式：
u u a (u)u t t
• 上式由两部分组成：第一部分 称为时变加速 度或当地加速度，它表示在通过某固定空间点 处，流体质点的流速随时间的变化率；第二部 分 称为位变加速度或迁移加速度，它表示 在同一时刻，流体质点流速随空间坐标点位置 变化所引起的加速度。
元流：过流断面面积无限小的 流束。又称为微小流束。其上 各点的运动参数可以认为相同。 总流：过流断面为有限大小的流束，它由无 数元流构成。
3.2.4 流量和断面平均流速
流量：单位时间内流过过流断面的流体量。 体积流量 质量流量
Q udA
A
m3 / s
Qm udA
A
kg / s
不可压缩流体
流线方程：
dx d y dz ux u y uz
dx d y dz 迹线方程： dt ux u y uz
流线的性质：流线不相交、不转折。
迹线和流线的区别：
研究对象 时
迹线
间
揭示内容 描述
流动轨迹 拉格朗日
一个质点 某一时段
流线
多个质点 某一时刻
流速方向
欧拉法
迹线和流线的联系：恒定流（稳定流）的 迹线和流线重合。
3.2 欧拉法的基本概念
3.2.1流动的分类
1）恒定流与非恒定流 （1）恒定流（稳定流、定常流） 流体质点的运动要素不随时间变化。
u u( x, y, z)
p p( x, y, z )
( x, y, z )
（2）非恒定流（非稳定流、非定常流）
流体质点的运动要素随时间变化。 非稳定流动比较多见，但如 果观察时间较长，其流动参 量的变化平均值趋于稳定； 或者流体的流动参量随时间 的变化非常缓慢，且在较短 的时间内研究这种流动时， 可以近似地认为是稳定流动 或作为稳定流动来处理。
3.3.2 连续性微分方程对总流的积分
A1 1 v1 A2 2 v2
在dt时间内，流入断面1的流体 质量必等于流出断面2的流体质 量，则 1Q1dt 2Q2 dt
1v1 A1 2v2 A2 ——连续性方程的积分形式
c 不可压缩流体 分流时 Q Qi
Q1 Q2 v1 A1 v2 A2
3.2.3 元流和总流
流管：在流场中任意取不 与流线重合的封闭曲线， 过曲线上各点作流线，所 构成的管状表面。
流管内的流体不会由管壁流出，外面的流 体也不会穿过管壁流入。恒定流时，流管 形状不变。
流束：流管内 的流体。
过流断面：在流束上作出与流线垂直的断面。
注意：只有均匀流的过 流断面才是平面。
流体质点的其它流动参量可以类似地表示为a、 b、c和τ的函数。如 p=p(a，b，c，τ) ρ=ρ(a，b，c，τ)
优点： 可以描述各个质点在不同时间参量变 化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。 缺点：不便于研究整个流场的特性。
3.1.2 欧拉法 （站岗法、流场法） Eulerian method
xdt u AA x y dt x x x
u y
同理，O′B也发生偏转，
偏转角度为：
u x ydt u x BB y dt y y y
偏转的结果使原来的矩形变成平行四边形， 微团在xoy平面上的角变形用 1 ( ) 衡量：
2
1 1 u y ux ( ) ( )dt xy dt 2 2 x y 1 u y ux 是微团在xoy平面上的 xy ( ) 2 x y 角变形速度。
同理，微团在yoz、zox平面上的角变形速 度为：
1 uz u y yz ( ) 2 y z
ux
uy
y
1
1
2
x2

1 u z 2tz t2
2 xy
解：由连续性方程
( u x ) ( u y ) ( u z ) 2t (2 x) 2 x (2t ) 0 t x y z
满足连续性方程，此流动可能出现。
Qm Q
断面平均流速：假想断面上各点流速相等， 以V 表示，且其流量等于实际流速流过该断 面的流量。 Q A udA m/s v
A A
3.3 连续性方程
3.3.1连续性微分方程
dt时间内x方向：
流入质量
dmx ux dydzdt
( u x ) dmx u x dx dydzdt x
1 u x u z zx ( ) 2 z x
4）旋转角速度 x y z 若微团O′A、O′B的偏转方向相反，转角相 ，此时微团发生角变形，但变形 等， 前后的角平分线O′C的指向不变，以此定义 微团没有旋转，为单纯的角变形。
，变形前后的角平分 若偏转角不相等， 线O′C′的指向发生变化，表示该微团旋转。
3 流体运动学
3.1 流体运动的描述方法
3.1.1拉格朗日法（跟踪法、质点法） Lagrangian method
以运动着的流体质点为研究对象，跟踪 观察个别流体质点在不同时间其位置、流速 和压力的变化规律，然后把足够的流体质点 综合起来获得整个流场的运动规律。 设任意时刻τ，质点坐标为(x，y，z) ，则：
• 上述三组公式中的自变量x、y、z、t称为欧 拉变数；其中x、y、z是流体质点在t时刻的 运动坐标，对同一质点来说并非常数，而是 时间t的函数。因此加速度按复合函数求导 法则得到，即欧拉法描述流体运动时的质点 加速度表达式为
ax du x u x u x dx u x u x dz dy dt t x dt y dt z dt u x u x u x u x ux uy uz t x y z
3.4.1 微团运动的分解
刚体——平移、旋转
流体——平移、旋转、 变形（线变形、角变形）
3.4.2 微团运动的组成分析
1）平移速度ux，uy，uz
是微团各点共有的速度，如果微团只随基 点平移，微团上各点的速度均为ux，uy，uz 2）线变形速度εx，εy，εz
x方向线变形
ux x dt ux dt ux x
x = x(a,b,c,τ) y = y(a,b,c,τ) z = z(a,b,c,τ)
将上式对时间求导，可得到某个流体质点的 速度为 u d x x x(a， b， c， )
d d y y y ( a， b， c， ) uy d d z z z ( a， b， c， ) uz d
'
'
dmx
dmx’ dz dy dx z y o x
流出质量
净流出质量
( u x ) M x dm x dm x dxdydzdt x
同理： M y
( u y )
y ( u z ) M z dxdydzdt z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
合流时
Qi Q
例 有一输水管道，水自截面1-1流向截面22。测得截面1-1的水流平均流速V1=2m/s， 已知d1=0.5m， d2=1m，试求截面2-2处的平 均流速V2为多少？
解：由连续性方 程得
V1

4
d V2
2 1
2

4
d 22
2
d1 0.5 V2 V1 2 0.5m / s 1 d2
u x xdt x xdt x
u x x x
是单位时间微团沿x方向相对线变形量（线 变形速度） 同理
y
u y y
u z z z
3）角变形速度 xy yz zx 因微团O′点和A点沿y方向速度不同，在dt时 间内，O′A发生偏转，偏转角度为：
( u x ) ( u y ) ( u z ) M M x M y M z dxdydzdt y z x
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控 制体内由于密度变化而减少的质量，即
( ux ) ( u y ) ( uz ) dxdydzdt dxdydzdt y z t x
3）均匀流与非均匀流 （1）均匀流 流体质点的迁移加速度 为零。如等径直管内的 流动。 （2）非均匀流
流体质点的迁移加速度 不为零。如变径管内的 流动。
3.2.2 迹线和流线
迹线（拉格朗日法）：流体质点在一段时间内运动 所经过的路线。如喷气式飞机飞过后留下的尾迹
流线（欧拉法）：是 某一瞬时流场中的一 条曲线，该曲线上所 有质点的速度矢量都 和该曲线相切。—— 表示流场在某一瞬时 的流动方向。
例 输水管道经三通管分流，已知管径 d1=d2=200mm，d3=100mm，断面平均流速V1=3m/s， V2=2m/s，试求断面平均流速V3。
解：流入和流出三通 管的流量相等，即
Q1=Q2+Q3
V1A1=V2A2+V3A3 V3=(V1A1-V2A2)/A3=4m/s
3.4 流体微团运动的分析
以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过 空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多 的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。 流动参量是空间点坐标和时间的函数：