不可压缩流体
∇ ⋅V = 0
流体力学
速度散度为零
旋转1
存在交叉导数
∂u u + ∂uδyy u+ δ ∂yy B ∂ B ∂u (( ∂uδyyδtt δ ))δ ∂yy ∂ ∂v (( ∂vδx)δtt δx)δ ∂x ∂x
C C
B B
δβ δβ
B’ B’
δyy δ
vv ∂v vv+ ∂vδx + δx ∂x ∂x A A
δyy δ δα δα
A’ A’ O O
δδx x
O O
u u
δx δx
A A
OA边旋转角速度 OB边旋转角速度
流体力学
δα ∂v ωOA = lim = δt → 0 δ t ∂x δβ ∂u ωOB = lim = δt → 0 δ t ∂y
旋转2
流体团绕 z 轴的旋转角速度
1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ ωz = ⎜ − ⎟ 2 ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎝ ⎠
V′
奇点
流体力学
A
C
驻点
流线5
流线的走向和疏密反映了某瞬时流场内流 体速度方向和大小：流线密的地方流速大
流体力学
流线、迹线的区别
同一质点，不同时刻位置的连线
迹线
流场中实际存在的线 拉格朗日观点下的概念 同一时刻，不同质点的连线 速度方向与该点切线方向重合
流线
流场中并不存在，假想曲线 欧拉观点下的概念
流体力学
流体微团的运动与变形
t 0 + δt
平动
线变形 +
=
t0
+ 流体团复 合运动
流体力学
+ 旋转 角变形
线变形1
x方向速度只在x方向有梯度
B B
u u
C C B B C C C’ C’
δ yy δ
u u
∂u u + ∂ uδ x u+ δx ∂x ∂x ∂u u + ∂ uδ x u+ δx ∂x ∂x
流体力学
i j k 1 ∂ ∂ ∂ 1 ω= = ∇ ×V 2 ∂ x ∂ y ∂z 2 u v w
流体微团角变形率
∂u ∂v ∂ w ∂ v ∂ u ∂ w + , + , + ∂y ∂ x ∂ y ∂z ∂ z ∂ x
流体力学
作业：P.53～54 作业：P.53～54 3−2 3 − 10 3 − 14 3 − 17
旋度
无旋流动
ω=0
流体力学
角变形
OA、OB（x、y轴） 间的角变形率
δγ δα + δβ = lim γ = lim δt → 0 δ t δt → 0 δt
∂u ∂ v + ∂y ∂x
B B
δβ δβ
B’ B’
∂u (( ∂uδy))δt δy δt ∂y ∂y ∂v (( ∂vδx))δt δx δt ∂x ∂x
V V dA dA
速度在过流断面上均布
Q = VA
流体力学
平均速度
平均速度
假设过流断面上各点速 度相等，通过的流量与 实际流量相等
∫ udA v=
A
A
以平均速度计算流量是准确的，但计算动 量、动能等会引入误差，需要修正
流体力学
3.4 流体微团的运动与变形
流体质点
无线尺度，无变形运动
流体微团
大量流体质点构成的微小单元，有线尺度 流体质点的相对运动引起流体微团的变形、 旋转
迹线、流线、染色线
三种线的特点、区别与联系 迹线方程、流线方程
流体微团的线变形、旋转、角变形
相对体积膨胀率、角速度、角变形率
流体力学
小结3
几个概念 物质导数、局部导数、对流导数 流管、微小流束、总流、过流断面、质 量流量、体积流量 散度、旋度
流体力学
小结4
公式 物质导数
DN ∂N ∂N ∂N ∂N = +u +v +w ∂t ∂x ∂y Dt ∂z
DN ∂N ∂N ∂N ∂N = +u +v +w Dt ∂z ∂t ∂x ∂y DN Dt
流体质点的物理量 N 随时间的 变化率
物质导数（质点导数或随体导数）
流体力学
物质导数2
∂N ∂t
空间点上的N随时间的变化率， 由物理量场的非定常性引起
局部导数或当地导数
∂N ∂N ∂N u +v +w ∂z ∂x ∂y
微小流束 总流 过流断面
V
流管元内所有流线的总和 流管内所有流线的总和 与总流所有流线 相垂直的截面
V
流体力学
质量流量
质量流量
m = ∫ ρVdA
A
单位时间通过流管过 流断面的流体质量
V V dA dA
速度、密度在过流断面上均布
m = ρVA
流体力学
体积流量
体积流量
Q = ∫ VdA
A
单位时间通过流管过 流断面的流体体积
流体力学
3.3 迹线、流线和染色线、流管
迹线 迹线的特点
流场中实际存在 同一质点，不同时刻的空间位置 拉格朗日观点下的概念
流体力学
流体质点在空间运动 时所描绘出来的轨迹
迹线
迹线方程
dx dy dz = = = dt u v w
t 是自变量，x，y，z 都是 t 的函数
流体力学
流线1
流线
某瞬时流场中一条假想曲线 该曲线上各点速度方向和曲 线在该点切线方向重合
欧拉法描述流体质点的加速度1
V ( x + δx , y + δy , z + δ z , t + δ t ) − V ( x , y , z , t ) a = lim δt → 0 δt
∂V ∂V ∂V ∂V a= +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z
流体质点的加速度 流体质点的速度对时间的变化率
x x
一维流动
y y
z z
r r
r r
二维流动
流体力学
z z
3.2 物质导数
欧拉方法描述流体质点的加速度
∂V ( x , y , z , t ) =? ∂t
t 时刻 t + δ t时刻
V ( x, y, z, t )
V ( x + δx , y + δy , z + δz , t + δ t )
流体力学
A A
δ yy δ
O O
δx δx
δx δx
O O
∂u (( ∂ uδ x ))δtt δx δ ∂x ∂x
A A
A’ A’
x方向相对变形率
∂u ∂x
x方向相对线变形引起体积膨胀率
流体力学
∂u ∂x
线变形2－散度
线变形引起总的相对体积膨胀率
1 d (δV ) ∂u ∂v ∂w = + = ∇ ⋅V + δV dt ∂ x ∂y ∂z
流体力学
欧拉法描述流体质点的加速度2
∂V ∂t
空间点上的速度对时间的变化率 由速度场的非定常性引起

当地加速度或局部加速度
∂V ∂V ∂V u +v +w ∂x ∂y ∂z
由速度场的非 均匀性引起
迁移加速度或对流加速度
流体力学
欧拉法描述流体质点的加速度3
流体力学
物质导数1
任意物理量 N 的物质导数
∂r (a , b, c , t ) V= ∂t
∂V ∂ 2 r (a , b, c , t ) a= = ∂t ∂t 2
流体力学
欧拉方法1
着眼于空间点
描述空间某点流体运动物理量随时间的变 化规律及由一点转向另一点时该量的变化 空间点的位置为(x , y , z)，则物理量 η 的空间分布
η = η ( x, y, z, t )
描述每个流体质点自始至终的运动规律 设初始时刻某质点标记为（a, b , c）， 则该质点的物理量 η 可表示为
η = η (a , b, c , t )
其中 a, b , c , t 为拉格朗日变数
流体力学
拉格朗日方法
任意时刻流体质点的位置矢量
r = r (a , b, c , t )
任意时刻流体质点的速度和加速度
由物理量场的非 均匀性引起的 N 的变化率
位变导数或对流导数
流体力学
物质导数－例1
例：已知速度场u = 2xt， v = --2yt，求流体质点 例：已知速度场u = 2xt， v = 2yt，求流体质点 的axx，ayy 。 的a ，a 。
∂u ∂u ∂u ∂u 2 ax = +u +v +w = 2 x + 4 xt ∂z ∂t ∂x ∂y
∂η =0 ∂t
流体力学
或 η = η ( x, y, z )
几种场2
流体力学
几种场3
均匀场与非均匀场
流场中各空间点上的物理量都一样，称 为均匀场；否则，为非均匀场 均匀场数学描述
∂η ∂η ∂η = = = 0 或 η = η (t ) ∂x ∂y ∂z
流体力学
一维、二维、三维流动
速度场为三个空间坐标的函数－三维流 动，实际流动都是在三维空间中的流动
解：1、迹线
dx = x+t dt dy = −y+ t dt
y y x x
⎧ x = C 1e t − t − 1 ⎨ y = C 2e − t + t − 1 ⎩ x + y = −2
流体力学
流线、迹线－例题1
2、流线