（2）对于有多个度量期的情形，可以分别定义各个度量期的实际贴现率，令dn为从投资日算起第n个时期的实 际贴现率，则
dn A(n) A(n 1) In An A(n)
（3）三个重要关系 ①实际利率i与实际贴现率d的关系：
n 1为整数1.7
【例题1.1】已知A（t）=t2+2t+3，要使in≤10%，则n至少等于（ A．18 B．19 C．20 D．21 E．22 【答案】D 【解析】由已知A（t）=t2+2t+3，得： ）。[2008年春季真题]
2n 1 in A(n) A(n 1) ， 2 A(n 1) (n 1) 2(n 1) 3
显然，常数的单利意味着递减的实际利率。 ②以每期复利i计息时，第n期的实际利率为
i in a(n) a(n 1) 1.4 a(n 1) 1 i n 1
in a(n) a(n 1) i1.5 a(n 1)
( m)
B．365389
C．366011
D．366718
E．367282
X (1 0.075)(1 0.12/ 2)2 (1 0.125/ 4)4 500000
(5)
d 1 5 ，则m=（ 【例题1.6】已知 1 d ）。 (6) m 1 d 6 A．30 B．33 C．35 D．37 E．40
12
1195.6
【例题1.5】已知在未来三年中，银行第一年的实际利率为7.5%，第二年按计息两次的名义利率12%计息，第三 年按计息四次的名义利率 12.5% 计息，某人为了在第三年未得到 500000 元的款项，第一年初需要存入银行多少？ （ ）[2011年春季真题] A．365001 【答案】C 【解析】设第一年初需存入银行X元，则 得：X=366010.853。
3．实际贴现率 （1）某一度量期的实际贴现率：是指该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。通常用字母d 来表示实际贴现率。
d
I a(1) a(0) A(1) A(0) 1 1.6 a(1) A(1) A(1)
n 1 1 1 nd
1
d
1

d 1.8 1 n 1 d
(n1)
dn
a(n) a(n 1) 1 d a(n)
n
1 d
1 d
n
d 1.9
令in≤10%，得：
(n 1)2 2(n 1) 3
即 n2－20n－8≥0，
解得：n≥20.39，故取n=21。
2n 1
10% ，
2．单利和复利 （1）单利 如果一单位本金在t时的积累值a（t）=1+i· t，那么就说该比投资以每期单利i计息，并将这样产生的利息称为单 利。 （2）复利 如果一单位本金在t时的积累值a（t）=（1+i）t，那么就说该笔投资以每期复利 i计息，并将这样产生的利息称 为复利。 （3）①以每期单利i计息时，第n期的实际利率为
金融数学考情分析 1．考查内容 （1）利息理论（ 分数比例约为 30%） （2）利率期限结构与随机利率模型 （ 分数比例 16% ） （3）金融衍生工具定价理论 （ 分数比例 26% ） （4）投资理论 （ 分数比例 28% ） 2．考试方式 考试采用闭卷方式进行，题型为客观题（一般30题单项选择），考试时间为3小时，满分100分，最后按10分制计， 6分以上（包括6分）为及格。 3．讲解内容
1
2
【例题1.9】己知δt=abt，其中a>0，b>0为常数，则积累函数a（t）为（
）。[2008年春季真题]
A．eb(a -1)/ln b B．ea(b 1)/ln a C．ea(b 1)/ln b t t D．ea(b -1)/ln a E．ea(b -1)/ln b
利息理论
利息的基本概念
实际贴现率
名义利率和名义贴现率 利息力 1.2 利息问题求解
价值等式
投资期的确定 未知时间问题 未知利率问题
【要点详解】 §1.1 利息度量 1．实际利率 （1）本金：每项业务开始时投资的金额。 （2）积累值（或终值）：业务在一定时间后回收到的总金额。 （3）积累函数a（t）：是指0时刻的本金1在时刻t的积累值。显然，a（0）=1，且a（t）通常为单增函数。 （4）总量函数A（t）：是指本金为k的投资在时刻t≥0时的积累值。显然，A（t）=k· a（t）。 （5）折现函数a-1 （t）：积累函数a（t）的倒数。 特别地，把一期折现因子a-1（1）简称为折现因子，并记为v。 （6）现值（或折现值）：是指为在t期末得到某个积累值，而在开始投资的本金金额。 显然，a-1 （t）是在t期末支付1的现值。 （7）把从投资日起第n个时期所得到的利息金额记为In，则：
In A(n) A(n 1)
n 1为整数1.1
注意：In是指一个时间区间上所得利息的量，而A（n）则是在某一特定时刻的积累量。
（8）实际利率 ①对于一个度量期：某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金 额之比。通常用字母i来表示实际利率。
【答案】A
【解析】由已知条件，得：
( m) 1 d m 30 (5) 1 d 5 d (6) 1 6
30
(5) 1 d 5
56
( m) 又由 1 i 1 d ，可得： m
1
【例题 1.4】假定名义利率为每季度计息一次的年名义利率 6% ，则 1000 元在 3 年末的积累值为（ [2008年春季真题] A．1065.2 【答案】D B．1089.4 C．1137.3 D．1195.6 E．1220.1
）元。
【解析】1000元在3年末的积累值为：
AV
6% 1000 1 4
i
I a(1) a(0) A(1) A(0) 1 1.2 a(0) A(0) A(0)
②对于多个度量期：把从投资日算起第n个度量期的实际利率记为in，则：
in A(n) A(n 1) I n n 1为整数1.3 An1 A(n 1)
i d 1 d
②实际贴现率d与实际利率i的关系：
d i 1 i
③贴现率d与折现因子v的关系：
d=iv
（4）单贴现、复贴现 ①对于单贴现，第n期的实际贴现率为：
dn
a(n) a(n 1) a(n)
1 nd
1
显然，常数的单贴现率意味着单增的实际贴现率。 ②对于复贴现，第n期的实际贴现率为：
显然，常数的复贴现率意味着常数的实际贴现率。 【例题1.3】已知年利率为9%，为了在第三年末得到10.0；768.0 E．789.7；776.5 【答案】C 【解析】①按单利计算： 1000a1(3) B．786.2；770.2 C．787.4；772.2 D．788.6；774.3
1000 787.4 （元）； 1 0.09 3
1.093 772.18 （元）。
②按复利计算： 1000a1(3) 1000v3 1000
4．名义利率与名义贴现率 （1）定义：在一个度量期中利息支付不止一次或在多个度量期利息才支付一次，称相应的一个度量期的利率 和贴现率为“名义”的。记i（m）为每一度量期付m次利息的名义利率，d（m）为每一度量期付m次利息的名义贴现率。 （2）三个重要关系 ①名义利率i（m）与实际利率i之间的关系：
t t t
【答案】E
abr dr t 【解析】 a t =e0 ea(b 1)lnb
t
2 【解析】由已知条件得：a(t ) e0 t 1 dt t 1 ，
2 所以 d10 a(10) a(9) 1 a(9) 1 102 ， a(10) a(10) 11
2
2 又 1 d (1 d )2 ，故 d 2 1 1 d 2 2 1 10 0.1818 。 10 10 2 11
t
（2）应用：
A t a t A(t ) a(t )
为t时刻的利息力。由δt的定义可知，δt为t时每一单位资金的变化率。
r dr a(t ) e0
t
（3）在利息力为常数的情况下，δ与i的关系为：
ln 1 i ln v
【例题1.7】已知0时刻在基金A中投资一元到t时刻的积累值为1.5t+1，在基金B中投资一元到3t时刻的积累值为 9t2-3t+1元，假设在t时刻基金B的利息力为基金A的利息力的两倍，则0时刻在基金B中投资 10000元，在7t时刻的积 累值为（ ）。[2011年春季真题] B．567902 C．569100 D．570000 E．570292 A．566901 【答案】D 【解析】由题意知，
( m) 1 i 1 i m m
②名义贴现率d（m）与实际贴现率d之间的关系：
1 d
③名义利率i（m）与名义贴现率d（m）之间的关系：
( m) 1 d m
m
( m) ( m) 1 i 1 d m m
显然，常数的复利意味着常数的实际利率。 【例题1.2】某人初始投资额为100，假定年复利为4%，则这个人从第6年到第10年的5年间所赚利息为（ [2008年春季真题] ）。
A．26
B．27
C．28
D．29
E．30
【答案】A 【解析】从第6年到第10年的5年间所赚利息为： 100[（1+0.04）10－（1+0.04）5]=26
m
(6) 1 d 6
m
65

1 i
6 5
1 i