承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理.我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：河南理工大学万方科技学院参赛队员(打印并签名) ：1. 关海超2. 刘源3. 冯艳伟指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2011 年 8 月 21 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：经济增长问题摘 要国内生产总值（GDP ）常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标.它不但可反映一个国家的经济发展情况，更可以反映一国的国力与财富.因此分析各产业对于GDP 的影响，并研究GDP 的增长规律是具有现实意义的.在问题一中，我们分别做出了GDP 与工业、建筑业及农林渔业产值关系的散点图，分析得出GDP 的值与各产业之间存在明显的线性关系. 回归分析是统计分析的重要组成部分，用回归分析方法来研究自变量与因变量的关系函数是一种常用的有效方法.因此我们建立起了多元线性回归模型，用MATLAB 计算得到的模型为ε++++=32103.049.13.732x x x y .在对该模型进行显著性检验中，我们对各参数进行了显著性分析，得到模型的复相关系数R =0.999，统计量F =30900. 统计量F 的值远超过检验的临界值，因此可以验证模型是可用的.最后，我们利用所建立的模型对2010～2014年的GDP 值做出了预测，分析了各产业对GDP 的影响.通过处理预测的数据，我们得出平均每年GDP 的增长率为10%左右，其中建筑业与工业对GDP 的影响较大，而农林渔业对GDP 的影响较小，这也符合中国的产业结构与经济发展情况.在问题二中，为了讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，我们通过分析数据、查阅相关资料，了解到了国内生产总值的大小通常取决于相关的生产资料和劳动力等相关重要因素.于是，我们通过建立柯布—道格拉斯生产函数()0,,>=βαβαA L AK Q ，定义了三个指数分别为：投资金额指数()t i K ，就业人数指数()t i L 和国内生产总值指数()t i Q .利用定义的三个指数公式，计算出1981年到2008年的国内生产总值指数()t i Q ，投资金额指数()t i K 和就业人数指数()t i L 的一组数据，并探讨国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系.但是上述三个指标都是随时间增长的，很难直接从表中发现具体的经济规律.为了定量分析，我们定义两个新的变量分别()()t t ψξ,,通过做散点图发现这两个变量基本上成正比例关系.我们用MATLAB 软件中的curvefit()函数来作数据拟合，求得函数Q 中的未知参数88380.A =,8471.0=α,4991.0=β，通过检验进而得处道格拉斯生产函数为4991.08471.08838.0K L Q =，这就是产值Q 随资金K 、劳动力L 的变化规律.为了验证第二问中的结果，我们用求得的道格拉斯生产函数来预测每年的国内生产总值，然后与题目提供的数据进行比较来进行检验.通过检验可以发现预测值的误差很小，因此道格拉斯生产函数可以表示出国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系.关键字：多元线性回归 显著性检验 道格拉斯函数 数据拟合1.问题重述国内生产总值(Gross Domestic Product,简称GDP)是指在一定时期内(一个季度或一年)，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和服务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标.它不但可反映一个国家的经济表现，更可以反映一国的国力与财富.（1）建立国内生产总值与工业值、建筑业及农林渔业产值之间的数量模型，利用数据对未来经济做出预测；（2）讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，利用数据验证其结果.2.问题分析2.1 建立GDP与工业值、建筑业及农林渔业产值之间的数量模型，并对未来经济做出预测.在问题一中，我们通过分析材料得出这是研究对象的内在特性和各个因素间关系的问题，即研究GDP与工业值、建筑业及农林渔业产值关系.一般用机理分析的方法建立数学模型.由于经济问题是一种随机的问题，所以通常的办法是搜集大量的数据，基于对数据的统计分析去建立模型.因为影响GDP的因素有三个，即工业值、建筑业及农林渔业产值，且各个产业与GDP都为线性关系.所以我们建立起一个多元线性回归模型，并检验模型显著性，通过对模型的反复修改与检验，建立更合理的模型.2.2 讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，并验证其结果.在问题二中，为了讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，通过查阅相关资料，我们了解到国内生产总值通常取决于相关的生产资料和劳动力等相关重要因素. 要建立道格拉斯生产函数，我们只需要讨论产值和资金，劳动之间的关系，从而达到我们的目的.这样处理不仅能简化问题，而且是合理的在生产产值上的预测，柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数预测的结果近似就是准确生产值.于是我们通过建立柯布—道格拉斯生产函数，来探讨国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，进而利用已有的数据验证其结果.3.模型假设1.假设所统计的数据都在误差允许的范围之内；2.忽略由于非正常条件下的引起的数据的巨大波动；3.假设在短期内国内生产总值只取决于投资和劳动力因素;4.假定在一段不太长的时间内技术水平不变.4.定义与符号说明5.模型的建立与求解5.1 问题一模型的建立与求解：回归分析方法是统计分析的重要组成部分，用回归分析方法来研究自变量与变量的关系函数是一种常用的有效方法.我们通过回归模型的建立，定量预测了未来经济的发展.5.1.1 GDP 与工业值、建筑业及农林渔业产值数量模型：通过在互联网上搜集到1978年～2009年，中国GDP 与工业值、建筑业及农林渔业产值的数据（见附表1），可以定性的看出GDP 与工业、建筑业及农林渔业产值为整体上升的趋势.为了大致分析GDP 与工业值、建筑业及农林渔业产值关系，我们首先利用附录数据做出了GDP 与工业产值的关系散点图（如图1）.图1 工业产值与GDP 散点图从图可以发现，随着工业产值的增加，GDP 的值有比较明显的线性增长趋势.图中的直线是用线性模型ε++=145.295.143x y拟合的.同理我们也分别作出了建筑业产值与GDP 的关系散点图（图2）、农林渔业产值与GDP 的关系散点图（图3）.图2建筑业产值与GDP散点图图3 农林渔业产值与GDP散点图通过图2，图3可以看出建筑业产值与农林渔业产值同样有很强的线性关系，同样也分别用直线模型对其拟合.建筑业产值与GDP线性模型ε++=25.163612x y农林渔业产值与GDP 线性模型ε++-=3925784x y因此，综上所述四者之间有很强的线性关系，可建立多元线性回归模型εββββ++++=3322110x x x y在模型中除了工业，建筑业，农林渔业外，影响国内生产总值的其他因素的作用都包含在随机误差ε内，这里假设ε相互独立，且服从均值为零的正态分布，n t ,,2,1 =.对模型直接利用matlab 统计工具箱求解，得到回归系数估计值及其置信区间（置信水平'α= 0.05），检验统计量2R ，F ，P 的结果见表1.表1 模型的计算结果5.1.2 结果分析:表1显示，9989.02=R 指因变量y （国内生产总值）的99.89%可由模型确定，F 值远远超过F 检验的临界值，p 远小于α，因而模型从整体上来看是可用的.表1的回归系数给出了模型中0β，1β，2β，3β的估计值，即3.7320=∧β 9.11=∧β，0.42=∧β，03.03=∧β.检查它们的置信区间发现0β与3β的置信区间都包含零点，这表明回归模型常数与回归变量3x 对模型的影响不太显著.这也符合这一事实，农林渔业产值对GDP 的影响较小，工业与建筑业对GDP 的影响较大.但是一般情况下常数的值都保留在模型中，不剔除.回归变量系数3β区间右端点相对距零点较远，所以我们也保留在模型中.因此最终确定的模型为：εββββ++++=3322110x x x y5.1.3 未来经济预测将回归系数的估计值代入模型，即可预测未来的GDP 情况.代入得到的模型 即ε++++=32103.049.13.732x x x y只要能预测未来的工业值、建筑业及农林渔业产值即能预测未来GDP 的产值.根据统计数据（见附表1），我们用matlab 计算得到各产值的平均年增长率的中位数,工业值增长率13.5%,建筑业产值增长率16.8%，农林渔业产值10.7%.我们对GDP 的值做短期的预测，预测未来五年的GDP 情况见下图4.图4 2010-2014中国GDP 情况预测从模型中看，工业值、建筑业及农林渔业产值的预测直接影响GDP 预测的准确性.其中工业与建筑业对预测的影响较大，农林渔业影响较小.从预测结果中看中国GDP 总值成上升趋势，从数值中计算得平均值为12.3%.当然GDP 的增长率的计算还应除去通货膨胀、消费指数等因素的影响，所以实际中应小一些.2010年的GDP 为39.789万亿，这也与预测结果相符合，说明模型的合理性.5.2 问题二模型的建立与求解：在问题二中为了讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，通过查阅相关资料，我们了解到国内生产总值通常取决于相关的生产资料和劳动力等相关重要因素.于是我们通过建立柯布—道格拉斯生产函数，来探讨国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，进而利用已有的数据验证其结果.5.2.1 模型的建立:在经济学的分析中，为了简化分析，通常假定生产中只有劳动和资本这两种生产要素.若以L 表示劳动投入量，以K 表示资本投入数量，则生产函数可以写为：()K L f Q ,=生产函数表示生产中的投入量和产出量之间的依存关系，这种关系普遍存在于各种生产过程中.一家工厂必然具有一个生产函数，一家饭店也是如此，甚至一所学校或者医院同样会存在着各自的生产函数，产品可能是实实在在的有形产品，也可能是无形产品比如服务.估计和研究生产函数，对于经济理论和实践经验都具有一定意义.柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas ）生产函数是由数学家柯布和经济学家道格拉斯于20世纪30年代初一起提出来的.柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以极简单的形式描述了经济学家所关心的一些性质，它在经济理论的分析和实证研究中都有具有一定意义.柯布—道格拉斯生产函数的函数表达式如下：()0,,>=βαβαA L AK Q其中，Q 代表产出量,K 代表资本投入量,L 代表劳动投入量,A 、α、β为未知参数.A 表示技术或管理等参数对经济增长的影响系数, α和β分别表示劳动和资本对产出的贡献程度,且10,10<<<<βα.对该生产函数取对数得:InK InL InA InQ βα++=由于柯布―道格拉斯生产函数假设技术、管理水平不变,即A 是一个常数, 在此可以忽略A 的影响.所以，可简化为:InK InL InQ βα+=求出道格拉斯函数以后，我们通过道格拉斯函数可以预测出来每一年的GDP 总产值，然后利用题目所提供的数据进行检验，可以发现道格拉斯很好的表示出来了国内生产总值的增长和投资与劳动之间的关系.5.2.2 模型的求解:为了求解上述模型，通过分析题目所给数据和从网上查找相关数据，我们列出了我国从1981年到2003的GDP 总值，投资金额总和和我国就业人数的表2如下：GDP:亿元；投资金额：亿元；就业人数：亿人；在实际生产中，人们关心的往往是生产的增长量，而不是绝对量，因此定义投资金额指数()t i K ，就业人数指数()t i L 和国内生产总值指数()t i Q 分别为()()()()()()()()().0,0,0K t K t i L t L t i Q t Q t i K L Q ===利用上述定义的三个指数公式，通过使用matlab 软件计算出表3中1981年到2008年的国内生产总值指数()t i Q ，投资金额指数()t i K ，和就业人数指数()t i L 的一组数据，取1990年为基年,则t =0.从表中可知，在正常的经济发展过程中（除个别年份外），上述三个指标都是随时间增长的，但是很难直接从表中发现具体的经济规律.为了定量分析，定义两个新的变量()()()()()().ln ,ln t i t i t t i t i t K Q K L ==ψξ ()13,,9 -=t根据表中数据，在直角坐标系上做出()()(){}27,,9|, -=t t t ψξ的散点图，发现()()t t ψξ,基本上成正比例关系（散点位于一条直线的附近），如图5ξ,散点图图5 ()()ttψ我们可以用MATLAB软件中的curvefit()函数来作数据拟合，即寻求函数Q(K，L)中的未知参数A,α,β，使这个函数尽量逼近表5-2-2所给出的统计数据.则可以得到：A=,88380.α,=.08471β.=4991.0于是公式变为：.08471.04991Q=L.0K8838这就是产值Q随资金K、劳动力L的变化规律.5.2.3 模型的检验：为了对所建立的模型进行检验，我们利用得出的道格拉斯函数对每年的GDP 指数做出了预测，结果如下表4所示，然后利用已有的GDP指数进行比较，最后得出所建立的道格拉斯函数是有意义的，可以正确表示出国内生产总值与资金与劳动之间的关系.为了形象的表示出预测值与实际值之间的关系，我们做出了下图6，通过图表可以发现，道格拉斯函数已经可以很精确的表示来国内生产总值的变化趋势：图6 国内生产总值的预测与实际比较图增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系.在科学发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的.从而可以说明国内生产总值增长与资本及劳动之间满足柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas ）生产函数的关系.6. 模型的评价与推广6.1 模型的优点：在问题一中，多元回归模型，因变量国内生产总值的99.89%可由模型确定，说明模型从整体上来看是可用的.在预测2010-2014年的GDP 的值时.我们计算得中国平均年GDP 的增长量为10%左右，这也完全符合中国的经济发展情况.在问题二中，运用了柯布—道格拉斯生产函数，使该模型的建立有理论依据作支撑，且有助于对模型的结果进行分析.在分析国内生产总值与投资和劳动力关系是，忽略其他因素，从而简化了模型，便于大概的预测.6.2 模型的缺点：问题一中，由于国内生产总值受国际经济、政府政策、自然灾害等因素的影响，所以某一时期GDP 波动幅度较大，因此影响了模型整体预测的准确性.问题二中，忽略其他因素对国内生产总值的影响，和实际问题存在的误差.一定历史时期的生产函数是反映当时的社会生产力水平的.6.3 模型的推广与改进：推广：模型一是一类基于统计分析的随机模型，因此适用于大量数据的随机现象.如经济增长，灾害预测等.模型二中，在信息经济时代，所投入的生产要素的核心成分从资本、劳动力逐渐转变为以信息技术为代表的高新技术.当信息资源应用于生产中时，对生产人员、资本、流程等形成革命性的影响作用，极大地提高了生产要素生产率，促进了经济发展.综合上述原因，需要对柯布——道格拉斯生产函数做出了一定的修正，使之适用于信息时代的生产力发展水平.改进：模型一中参数0β与3β的置信区间包含零点，说明模型中还存在缺点，变量之间很可能存在交互作用.因此应在模型中加入交互项，改进原有的模型，建立新的回归模型.模型二较原来的模型增加了信息技术设备的资本投入和信息技术的劳动力投入后，得到dc b a L K L AK Q 1100=使得模型成为更贴近时代的生产模型，改进后的柯布—道格拉斯生产函数是在现代信息工业经济时代构造出的反映了现代信息工业经济时代生产力特征的函数模型.改进后的柯布—道格拉斯生产函数模型更具有时代特色，适用性更广.7.参考文献[1] 姜启源，谢金星，数学模型，高等教育出版社，2007.[2] 韩中庚，数学建模方法及其应用，高等教育出版社，2006.[3] 周品，赵新芬，MATLAB数学建模与仿真，2009.[4] 王兵团，数学建模基础，2005.[5] 齐微，柯布—道格拉斯生产函数模型，中国科技论文在线.8.附录附表1：附表2：附表3：模型二计算程序：Q=[4889.5 5330.5 5985.6 7243.8 9040.7 10274.4 12050.6 15036.8 17000.9 18718.3 21826.2 26937.3 35260.0 ...48108.5 59810.5 70142.5 78060.8 83024.3 88479.2 98000.5 108068.2 119095.7 135174.0];IQ=Q/18718.3K=[961 1230.4 1430.1 1832.9 2543.2 3120.6 3791.7 4653.8 4410.4 4517.5 5594.5 8080.1 13072.3 17827.1 20524.9 ...23358.6 25259.7 28716.9 29754.6 33110.4 37987.0 45046.9 58616.3];IK=K/4517.5L=[4.5126 4.6358 4.7286 4.8179 4.9873 5.1282 5.2783 5.4334 5.5329 6.4749 6.5491 6.6152 6.6808 6.7455...6.8065 6.8951 6.98217.0637 7.1394 7.2085 7.3025 7.3741 7.4432];IL=L/6.4749Et=zeros(23);Et=Et(1,1:23);for t=1:1:23;Et(t)=log(IL(t)/IK(t));endEt;Wt=Et;for t=1:1:23;Wt(t)=log(IQ(t)/IK(t));endWt;x=Et;y=Wt;plot(x,y,'*');xlabel('E');ylabel('W');a=[0.2612 0.2848 0.3198 0.3870 0.4830 0.5489 0.6438 0.8033...0.9083 1.0000 1.1660 1.4391 1.8837 2.57013.1953 3.7473...4.1703 4.4355 4.72695.2355 5.77346.36257.2215];y=[0.2127 0.2724 0.3166 0.4057 0.5630 0.6908 0.8393 1.0302...0.9763 1.0000 1.2384 1.7886 2.8937 3.94624.54345.1707...5.59156.3568 6.58657.32948.40899.9716 12.9754;0.6969 0.7160 0.7303 0.7441 0.7703 0.7920 0.8152 0.8391...0.8545 1.0000 1.0115 1.0217 1.0318 1.04181.0512 1.0649...1.0783 1.0909 1.1026 1.1133 1.1278 1.1389 1.1495];curvefun=inline('x(1)*(y(1,:).^x(2)).*(y(2,:).^x(3))','x','y')x0=[0.1,0.1,0.2];x=lsqcurvefit(curvefun,x0,y,a)a=x(1),alpha=x(2),beta=x(3)Q=[4889.5 5330.5 5985.6 7243.8 9040.7 10274.4 12050.6 15036.8 17000.9 18718.3 21826.2 26937.3 35260.0 ...48108.5 59810.5 70142.5 78060.8 83024.3 88479.2 98000.5 108068.2 119095.7 135174.0];IQ=Q/18718.3K=[961 1230.4 1430.1 1832.9 2543.2 3120.6 3791.7 4653.8 4410.4 4517.5 5594.5 8080.1 13072.3 17827.1 20524.9 ...23358.6 25259.7 28716.9 29754.6 33110.4 37987.0 45046.9 58616.3];IK=K/4517.5;L=[4.5126 4.6358 4.7286 4.8179 4.9873 5.1282 5.2783 5.4334 5.5329 6.4749 6.5491 6.6152 6.6808 6.7455...6.8065 6.8951 6.98217.0637 7.1394 7.2085 7.3025 7.3741 7.4432];IL=L/6.4749;Qt=zeros(23);Qt=Qt(1,:);for t=1:1:23;Qt(t)=0.9889*IL(t)^0.2167*IK(t)^0.7738;endQty1=[0.2612 0.2848 0.3198 0.3870 0.4830 0.5489 0.6438...0.8033 0.9083 1.0000 1.1660 1.4391 1.88372.5701...3.1953 3.74734.1703 4.4355 4.72695.2355 5.7734...6.36257.2215];y2=[0.2761 0.3362 0.3793 0.4615 0.5991 0.7061 0.8262...0.9742 0.9382 0.9889 1.1697 1.5580 2.26552.8862...3.2250 3.5745 3.80794.2159 4.3433 4.72765.2727...6.02897.4063];x=1981:1:2003;p1=polyfit(x,y1,2);p2=polyfit(x,y2,2);xi=1981:0.01:2003;y3=polyval(p1,xi);y4=polyval(p2,xi);plot(x,y1,'*r',xi,y4,'-b')legend('实际值','预测曲线')xlabel('年份');title('预测值与实际值比较图');。