2.1 经典集合
4.普通集合的基本运算
• 并运算
交运算
• 补运算
2.1 经典集合
• 差运算
A-B
B
A B {x x Aandx B}
• 集合的直积
X Y x, y| x X , y Y
2.1 经典集合
例: 设 X = {1, 2, 3}，Y = {a,b}
则直积
X Y 1, a,1,b,2, a,2,b,3, a,3,b Y X a,1,b,1,a,2,b,2,a,3,b,3
控制系统简介
控制系统的基本结构可分为：
开环控制系统 闭环控制系统
它们以被控对象的状态变量是否引入负 反馈到控制器来予以区分。
开环控制系统
• 按给定值操纵的开环控制
给定值 控制装置
输出量 被控对象
开环控制系统 适用于控制对象变化缓慢， 不能建立系统数学模型的， 控制精度要求不高的场合。
闭环控制系统
2.3 模糊性与随机性
随机性与模糊性具有本质上的不同，它们 是不同情况下的不确定性。例如，“明天有 雨”的不确定性，是由今天的预测产生的， 时间过去了，到明天就变成确定的了。再有 “掷一下色子是四点”的不确定性是根据掷 之前推测发生的，实际做一下掷色子的实验， 它就是确定的事件了。但是“老人”、“气 温高”等的不确定性，即使时间过去了，即 使做了实验，它仍然是不确定的，这是由语 言意义模糊性的本质所确定的。
1.基本概念 • 论域 ：当讨论某个概念的外延或考虑某个
问题的议题时，总会圈定一个讨论的范围， 这个范围称为论域。 • 元素：论域中的每个对象称为元素。 • 集合：在某一论域中，具有某种特定属性的 对象的全体成为该论域中的一个集合。
2.1 经典集合
相互关系的常用符号有： • a A 表示元素属于集合， • a A 表示元素不属于集合， • a A 表示集合中的所有元素
2.3 模糊性与随机性
模糊与随机的区别和联系
• 模糊：表示某个事件本身多大程度属于 某个分类的度量。
• 随机：表示某个事件发生可能性大小的 度量。
• 两种不确定性，不能互相替代，可以结 合。
• 例如求“明天下大雨”的概率，“下大 雨”是模糊事件。
2.4 模糊集合的表示方法
（1）向量表示法 （2）Zadeh表示法 （3）序偶表示法
（1）向量表示法
（2）Zadeh表示法
（3）序偶表示法
2.4 模糊集合的表示方法
示例
2.5 其它模糊集合的概念
2.5 其它模糊集合的概念
2.5 其它模糊集合的概念
2.5 其它模糊集合的概念
2.6 隶属函数
（一）隶属度函数 经典集合的特征函数只能取0和1两种
值，与二值逻辑相对应。 模糊集合的特征函数取值范围从{0，1}
A x, A x| x U
2.2 模糊集合
2.3 模糊性与随机性
模糊性是由于对象无精确定义造成的。因 此，对它的描述需要采用隶属函数。
随机性是在事件是否发生的不确定性中表 现出来的不确定性，而事件本身的状态和类 属是确定的。
2.3 模糊性与随机性
由上述定义可知，模糊性也是一种不确 定性，但它不同于随机性，所以模糊理论不 同于概率论。模糊性通常是指对概念的定义 以及语言意义的理解上的不确定性。例如， “老人”、“温度高”、“数量大”等所含 的不确定性即为模糊性。可见，模糊性主要 是人为的主观理解上的不确定性，而随机性 则主要反映的是客观上的自然的不确定性， 或者是事件发生的偶然性。
2.1 经典集合
4) 幂等律
AUA A
5) 同一律
AU A
AI A A
AI E A
6) 零一律
AUE E AI
7) 补余律（互补律）
AI A AUA E
2.1 经典集合
8) 吸收律
A U (A I B) A 9) 德·摩根律
(A U B) A I B
A I (A U B) A
用语言变量代替数学变量或两者结合应用; 用模糊条件语句来刻画变量间的函数关系; 用模糊算法来刻画复杂关系，模拟人类学
习和自适应能力。
模糊逻辑控制方法
把模糊数学理论应用于自动控制领域，从而 产生的控制方法称为模糊控制方法。
传统控制依赖于被控系统的
数学模型；
模糊逻辑控制依赖于被控系统的
物理特性。
若( x, y) R,则称“x对y具有关系R”,记作xRy.
2.1 经典集合
8. 关系矩阵 关系 R可用关系矩阵来表示。 关系矩阵的第i 行第 j 列上的元素按如下定义
1若x, y R rij 0若x, y R
(i 1, 2,...n; j 1, 2,...m)
2.2 模糊集合
模糊性总是伴随复杂性而出现的，复杂性 意味着因素的多样性，联系的多样性。
2.1 经典集合
5.普通集合运算的基本性质
1) 交换律 AUB BUA AI B BI A
2) 结合律
(A U B) U C A U (B U C)
(A I B) I C A I (B I C)
3) 分配律
A U (B I C) (A U B) I (A U C) A I (B U C) (A I B) U (A I C)
中国批准863高技术计划，包括自动化领域的计算 机集成制造系统和智能机器人两个主题(1986)。
模糊控制的主要应用领域
日本安 川公司 娱乐机 械狗 (2001)
日本SONY公司二足步行机械人SDR-4X(2002)
模 糊 控 制 的 主 要 应 用 领 域
1.2 模糊控制的概念和特点
模糊控制(Fuzzy control)是指模糊理论在 控制技术上的应用。
事物的普通联系造成了事物的复杂性和模 糊性。
模糊性也起源于事物的发展变化性，变化 性就是不确定性。过渡阶段的事物表现为从属 于到不属于的变化过程的渐进性。
模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
2.2 模糊集合
日常生活中的成年人、青年人、高个子、 冷与热等等都是一些不分明的模糊的概念， 对这样的概念，传统的集合论显得无能为力， 因此，美国控制论专家L.A.Zadeh于1965年 提出了模糊集合用以描述模糊概念。
•a A表示集合中存在元素
2.1 经典集合
2．普通集合的表示方法
(1) 列举法
例如：“小于10的正奇数的集合”记为{1，3， 5，7，9}。
(2) 定义法
例如：X {x | x U x 是5的整数倍}
(3) 特征函数法
例如:
CA(a)1 0aAaA2.1 经典集合3．几种特殊的集合 •全集是包含论域中的全部元素的集合，记为 E •空集是不包含任何元素的集合，记为 • A是B 的一个子集，记作B A，或 A B •集合的幂集，是由集合的所有子集构成的 集合
1.1模糊控制理论的产生和发展
随着系统复杂程度的提高，将难以建立系 统的精确数学模型和满足实时控制的要求。
人们希望探索一种除数学模型以外的描述 手段和处理方法。
例如： 骑自行车
水箱水温控 制
1.1模糊控制理论的产生和发展
模糊控制就是模仿人的控制过程，其中包 含了人的控制经验和知识。
模糊控制方法既可用于简单的控制对象， 也可用于复杂的过程。
x2
y1
x2 y2
...
x2
ym
... ... ... ...
xn
y1
xn y2
...
xn
ym
2.1 经典集合
7.二元关系 如果对集合中的元素之间搭配加以某种
限制，则满足此限制的所有序偶 (x, y) 构成 的集合是直积中的一个子集。
定义 设 X和Y 是两个非空集合，集合X和 Y 的直积 X Y的一个子集 R 称为 X 到 Y 的一个二 元关系，简称关系。
模糊控制
参考书：韩力群.智能控制理论及应用,机械工业出版社， 2008年1月
基于模糊推理的智能控制系统
1 引言 2 模糊集合及其运算 3 模糊关系与模糊关系合成 4 模糊语言变量与模糊语句 5 模糊推理 6 模糊控制器的工作原理 7 模糊控制应用实例
1 引言
1.1 模糊控制理论的产生和发展 1.2 模糊控制的概念和特点
优点
A. 无需预先知道被控对象的精确数学模型； B. 容易学习和掌握模糊逻辑控制方法（规则 由人的经验总结出来、以条件语句表示）； C. 有利于人机对话和系统知识处理（以人的 语言形式表示控制知识）。
2 模糊集合及其运算
2.1 经典集合 2.2 模糊集合 2.3 模糊性与随机性 2.4 模糊集合表示方法 2.5 其它模糊集合的概念 2.6 隶属函数 2.7 模糊集合的基本运算
集合扩大到[0，1]区间 ，与连续逻辑相对 应，是经典集合特征函数的扩展和一般化。
2.6 隶属函数
两种函数的关系
2.6 隶属函数
（二）确定隶属函数应遵循的一些基本原则: 1)表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合
例:适中速度的集合是模糊集合.可表示为: “适中速度”= 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 从最大隶属度函数点向两边延伸时,其隶属函
L
U
附近隶属函数的范围
x
重叠指数的定义
2.6 隶属函数
4) 论域中每个点至少属于一个隶属函数的 区域，并应属于不超过两个隶属函数的区域。
5) 当两个隶属函数重叠时，重叠部分对两 个隶属函数的最大隶属度不应有交叉。
6) 当两个隶属函数重叠时，重叠部分的任 何点的隶属函数的和应该小于或等于1。
2.6 隶属函数
2.2 模糊集合
（一）模糊集合的基本概念及其表示方法 定义：所谓给定了论域U上的一个模糊集A 是指：对任何 x U，都指定了一个数 Ax与0,之1 对应，它叫做x对A的隶属度。这 意味着构造了一个映射，