分式的性质与运算
1.1 分式的基本概念和性质1．分式的基本概念：
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【例1】 ⑴代数式1312,,,,
34
a b m n
b x a π+-+中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
⑵ 当x = 时，分式
2x x +有意义；当x 时，分式21
1
x +有意义．
⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？
①213x x -+ ②()()661x x x --+ ③()()216
41x x x -+- ④288x x + ⑤()
22
255x x --
⑷当x 时，分式233x x --的值为1；如果分式1
21
x x -+的值为1-，则x 的值是 ．
⑸当x 时，分式48x -的值为正数；当 时，分式48x
x
--的值为负数．
【例2】 ⑴ 当x 取何值时，分式11x x
-
有意义？
⑵ 使代数式32
34
x x x x ++÷
--有意义的x 值是 ．
⑶若不论x 为何值，分式
21
2x x c
++总有意义，则c ．
经典例题
1.2 分式的基本运算
注：零指数幂及负整数指数幂都属于分式．
【例3】 ⑴计算：()222
2
2x xy y x y
xy x xy x -+--÷；
⑵计算：2
21
11
x x x -
--； ⑶计算：
22
12239a a
a a a a
-+÷---； 经典例题
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⑷计算:2233x y x y
x y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷
⎪⎢⎥+⎝⎭⎣
⎦;
⑸计算：()22
221031525965a a a a a a
-+÷--+-．
【例4】 ⑴先化简：22211a a a a a a --⎛
⎫-÷
⎪+⎝
⎭，然后给a 选择一个你喜欢的数代入求值．
⑵已知：2
380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+--
-++的值．
【例5】 化简：2
22222
2
2112
22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫+÷+⎢⎥ ⎪++-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦
【例6】 化简22
32233223222244
113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--
+++-+--+-．
1.3 分式的拆分
分式计算技巧--------分式的拆分
分式拆分的基本模型11
a b ab a b
+=+，这种模型在计算中运用十分广泛。

而复杂的题型通常将
这种形式包容在其中。

如：()()b c
a b a c ---初看不符合基本模型，若对分子稍加变形则马上出
现基本模型。

()()b c a c a b -=---所以原式变为()()()()
11
a c a
b a b a
c a b c a ---=+----
【例7】 ⑴化简：
222
111
3256712
x x x x x x ++++++++； ⑵
化简
：
222222
b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a ---++---
--+--+--+---．
经典例题
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⑶已知,,a b c 为实数，且111,,345ab ab ca a b b c c a ===+++，那么
abc
ab bc ca
++的值为 ．
【例8】 仿照例子解题：
例子：若2
15111
M N x
x x x -+=+--恒成立，求M N 、的值． 解题过程如下： 2
15111
M N x
x x x -+=+--， ()()1115M x N x x ∴-++=-，
则15Mx M Nx N x -++=-， 即51Mx Nx N M x ++-=-+，
51M N N M +=-⎧∴⎨-=⎩
解得：32M N =-⎧⎨=-⎩
请你按照上面的方法解题： 若
2
8
224
M N x x x x --=+--恒成立，求M N 、的值．
【例9】 已知()()
237231111x x A B
x x x x -+=++-+-+，其中A B 、为常数，求42A B -的值．
1.4 课后练习【演练1】 ⑴当x 时，分式
2335x x ++有意义，当x 时，分式23
35
x x ++无意义．
⑵当x 时，分式11
x x -+的值为零．
⑶当x 时，分式1
2x
-的值为正． ⑷分式2
3
a a
b +++的值为零，则a ，b ．
⑸已知分式()()
811
x x x -+-的值为0，求x 的值．
⑹若分式221
23
b b b ---的值是0，则b 的值是（ ）
A.1
B.1-
C.1±
D. 2
【演练2】 化简：
()
()
()
()
22222
2
2
2
a b c b c a a c b
a b a
----+
+-+-
【演练3】 ⑴ 化简：()42243216424
2416844
m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+
⑵ 化简：()23332322211+1
2212211
x x x x x x x x x x +-+-+++-+--
⑶化简：()()
42242233664224
12b a a a b b a ab b a b a b a a b b ---⎛
⎫-÷ ⎪-+---++⎝⎭．
【演练4】 ⑴ 化简：()()()()()()
a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++．
⑵ 化简：
222222a b c b c a c a b
a a
b a
c bc b ab bc ac c ac bc ab
------++
--+--+--+．
【演练5】 已知()22221111
x x A B C
x x x x x +-=++
--，其中A B C 、、为常数，求A B C ++的值．
【演练6】 已知：1,2,3xy yz zx
x y y z z x
===+++，
求x y z ++的值．
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