高中数学公式结论大全20 年月日A4打印/ 可编辑高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：sinx=2u1+u2，cosx=1−u21+u2，u=tgx2，dx=2du1+u2一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：函数角Asin cos tg ctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式：·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：sinα2=±√1−cosα2 cos α2=±√1+cosα2tgα2=±√1−cosα1+cosα=1−cosαsinα=sinα1+cosα ctg α2=±√1+cosα1−cosα=1+cosαsinα=sinα1−cosα·正弦定理：asinA=b sinB=c sinC=2R ·余弦定理：c 2=a 2+b 2−2abcosC·反三角函数性质：arcsinx =π2−arccosx arctgx =π2−arcctgx高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：(uv)(n)=∑C n k u (n−k)v(k)nk=0u (n)v +nu (n−1)v ′+n(n −1)2!u (n−2)v ′′+⋯+n(n −1)⋯(n −k +1)k!u (n−k)v (k)+⋯+uv (n)中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)−f(a)=f ′(ξ)(b −a)柯西中值定理：f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f ′(ξ)F ′(ξ)当F(x)=x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：弧微分公式：ds =√1+y dx,其中 {y ′=tgα平均曲率：K =|ΔαΔs|.Δα:从M 点到 {M ′点，切线斜率的倾角变化量；Δs ：MM ′弧长。

M 点的曲率：K=lim Δs→0|ΔαΔs |=|dαds |=|′′|√直线：K =0;半径为a 的圆：K =1a . 定积分的近似计算：矩形法：∫f(x)≈b −a(y 0+y 1+⋯+y n−1)ba梯形法：∫f(x)≈b −a n [12(y 0+y n )+y 1+⋯+y n−1]ba抛物线法：∫f(x)≈b −a3n [(y 0+y n )+2(y 2+y 4+⋯+y n−2)+4(y 1+y 3+⋯+y n−1)]ba定积分应用相关公式：功：W =F ⋅s水压力：F =p ⋅A引力：F =k m 1m 2r 2,k 为引力系数函数的平均值：y =1b −a ∫f(x)dxb a均方根：√1b −a ∫f 2(t)dtba 空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：d =|M 1M 2|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2+(z 2−z 1)2向量在轴上的投影：Prj u AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosϕ,ϕ是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与u 轴的夹角。

Prj u (a 1+a 2)=Prja 1+Prja 2a ⋅b =|a |⋅|b |cosθ=a x b x +a y b y +a z b z ,是一个数量,两向量之间的夹角：cosθ=x x y y z z√a x +a y +a z ⋅√b x +b y +b z c =a ×b =|i j ka x a y a zb x b y b z|,|c |=|a |⋅|b |sinθ.例：线速度： {v=w ×r.向量的混合积：[abc]=(a ×b)⋅c =|a xa y a zb xb y b zc xc yc z|=|a ×b |⋅|c |cosα,α为锐角时，代表平行六面体的体积。

平面的方程：1、点法式：A(x −x 0)+B(y −y 0)+C(z −z 0)=0，其中 {n ={A,B,C },M 0(x 0,y 0,z 0)2、一般方程：Ax+By +Cz +D =03、截距世方程：x a +y b +zc =1平面外任意一点到该平面的距离：d=|000|√A 2+B 2+C 2x −x 0m =y −y 0n =z −z 0p=t,其中 {s ={m,n,p };参数方程：{x =x 0+mt y =y 0+nt z =z 0+pt 二次曲面：1、椭球面：x 2a 2+y 2b 2+z 2c 2=12、抛物面：x 22p +y 22q =z,（p,q 同号）3、双曲面：单叶双曲面：x 2a 2+y 2b 2−z 2c 2=1双叶双曲面：x 2a 2−y 2b 2+z 2c 2=1（马鞍面）多元函数微分法及应用全微分：dz =ðz ðx dx +ðz ðy dy du =ðu ðx dx +ðu ðy dy +ðuðzdz 全微分的近似计算：Δz ≈dz =f x (x,y)Δx +f y (x,y)Δy 多元复合函数的求导法：z =f[u(t),v(t)] dz dt =ðz ðu ⋅ðu ðt +ðz ðv ⋅ðvðt z =f[u(x,y),v(x,y)] ðz ðx =ðz ðu ⋅ðu ðx +ðz ðv ⋅ðvðx当u =u(x,y)，v =v(x,y)时，du =ðu ðx dx +ðu ðy dy dv =ðv ðx dx +ðv ðydy隐函数的求导公式：隐函数F(x,y)=0， dy dx =−F x F y ， d 2y dx 2=ððx (−F x F y )＋ððy (−F x F y )⋅dydx隐函数F(x,y,z)=0， ðz ðx =−F x F z ， ðzðy =−F y F z隐函数方程组：{F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0 J =ð(F,G)ð(u,v)=|ðF ðu ðFðv ðG ðu ðG ðv|=|F u F vG u G v |ðu ðx =−1J ⋅ð(F,G)ð(x,v) ðv ðx =−1J ⋅ð(F,G)ð(u,x)ðu =−1⋅ð(F,G) ðv =−1⋅ð(F,G) 微分法在几何上的应用：空间曲线{x =ϕ(t)y =ψ(t)z =ω(t)在点M(x 0,y 0,z 0)处的切线方程：x−x 0ϕ′(t 0)=y−y 0ψ′(t 0)=z−z0ω′(t 0)在点M 处的法平面方程： {ϕ′(t 0)(x −x 0)+ψ′(t 0)(y −y 0)+ω′(t 0)(z −z 0)=0若空间曲线方程为：方向导数与梯度：函数z =f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l 的方向导数为：ðf ðl =ðf ðx cosϕ+ðf ðysinϕ其中ϕ为x 轴到方向l 的转角。

函数z =f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=ðf ðx i +ðfðyj 它与方向导数的关系是：ðfðl=gradf(x,y)⋅e ，其中 {e =cosϕ⋅i +sinϕ⋅j ，为l 方向上的单位向量。

∴ðfðl是gradf(x,y)在l 上的投影。

多元函数的极值及其求法：设f x (x 0,y 0)=f y (x 0,y 0)=0，令：f xx (x 0,y 0)=A,f xy (x 0,y 0)=B,f yy (x 0,y 0)=C则：{AC −B 2>0时，{A <0,(x 0,y 0)为极大值A >0,(x 0,y 0)为极小值AC −B 2<0时， 无极值AC −B 2=0时, 不确定重积分及其应用：∬f(x,y)dxdy D=∬f(rcosθ,rsinθ)rdrdθD ′曲面z =f(x,y)的面积A =∬√1+(ðz ðx )2+(ðz ðy )2dxdy D平面薄片的重心： {x ¯=M x M =∬xρ(x,y)dσD∬ρ(x,y)dσD , {y ¯=M y M =∬yρ(x,y)dσD∬ρ(x,y)dσD平面薄片的转动惯量：对于x 轴I x=∬y 2ρ(x,y)dσD, 对于y 轴I y=∬x 2ρ(x,y)dσD平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F ={F x ,F y ,F z }，其中：F x =f ∬ρ(x,y)xdσ(x 2+y 2+a 2)32D ， F y=f ∬ρ(x,y)ydσ(x 2+y 2+a 2)32D ，F z =−fa ∬ρ(x,y)xdσ(x 2+y 2+a 2)32D 柱面坐标和球面坐标：柱面坐标：{x=rcosθy=rsinθz=z,∭f(x,y,z)dxdydz=∭F(r,θ,z)rdrdθdzΩΩ,其中：F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)球面坐标：{x=rsinϕcosθy=rsinϕsinθz=rcosϕ，dv=rdϕ⋅rsinϕ⋅dθ⋅dr=r2sinϕdrdϕdθ∭f(x,y,z)dxdydz=∭F(r,ϕ,θ)r2sinϕdrdϕdθΩΩ=∫dθ∫dϕ∫F(r,ϕ,θ)r2sinϕdrr(ϕ,θ)π2π重心： {x¯=1M∭xρdvΩ, {y¯=1M∭yρdvΩ, {z¯=1M∭zρdvΩ，其中M=x¯=∭ρdvΩ转动惯量：I x=∭(y2+z2)ρdvΩ，I y=∭(x2+z2)ρdvΩ，I z=∭(x2+y2)ρdvΩ曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：{x=ϕ(t)y=ψ(t),(α≤t≤β),则：∫f(x,y)ds=∫f[ϕ(t),ψ(t)]√ϕ(t)+ψ(t)dtβαL (α<β)特殊情况：{x=ty=ϕ(t)第∫P(x,y)dx+Q(L两类曲线积分之间的关格林公式：∬(ðQðx−ðPðy)dD当P=−y,Q=x，即：2、P(x,y)，Q(x,y)在G在ðQ＝ðP时u(x,y)=∫(曲面积分：对面积的曲面积分：∬∑f(x,y,z)ds=∬f[x,y,z(x,y)]√1+z x2(x,y)+z y2(x,y)dxdyD xy 对坐标的曲面积分：∬∑P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dz高斯公式：∭(ðPðx +ðQðy +ðRðz)dv =∯∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy∯∑(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dsΩ高斯公式的物理意义——通量与散度：散度ðP ðx+ðQ ðy+ðR ðz,即：单位体积内所产生的流体质量，若div {ν<0,则为消失...通量：∬∑A⋅nds=∬∑A n ds=∬P ∑(cosα+Qcosβ+Rcosγ)ds ，因此，高斯公式又可写成：∭div {A Ωdv=∯∑A n ds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： ∬∑(ðR ðy −ðQ ðz )dydz+(ðP ðz −ðR ðx )dzdx+(ðQ ðx −ðPðy)dxdy=∮Pdx+Qdy+Rdz Γ上式左端又可写成：∬∑|dydz dzdx dxdyððx ððy ððzP Q R|=∬空间∑|cosαcosβcosγððx ððy ððz P QR|=|i j k ððx ððy ððz P Q R|向量场 {A 沿有向闭曲线Γ的环流量：∮Pdx +Qdy +Rdz =∮A ⋅tds ΓΓ 常数项级数：等比数列：1+q +q 2+⋯+q n−1=1−q n1−q 等差数列：1+2+3+⋯+n =(n +1)n2调和级数：1+12+13+⋯+1n是发散的级数审敛法：1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：设：ρ=lim n→∞√u n n ，则{ρ<1时，级数收敛ρ>1时，级数发散ρ=1时，不确定2、比值审敛法：设：ρ=limn→∞U n+1n，则{ρ<1时，级数收敛ρ>1时，级数发散ρ=1时，不确定3、定义法：s n =u 1+u 2+⋯+u n ;lim n→∞s n 存在，则收敛；否则发散。