高中数学常用公式及常用结论1.包含关系A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R⇔=U 2．集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有12{,,,}n a a a L 2n2n2n–2个.2n 3.充要条件（1）充分条件：若，则是充分条件.p q ⇒p q （2）必要条件：若，则是必要条件.q p ⇒p q （3）充要条件：若，且，则是充要条件.p q ⇒q p ⇒p q 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.4.函数的单调性(1)设那么[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是减函数.[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减)(x f y =0)(>'x f )(x f 0)(<'x f )(x f 函数.5.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数)(x f )(x g )()(x g x f +和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.)(u f y =)(x g u =)]([x g f y =6．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．7.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函)(x f y =R x ∈)()(x b f a x f -=+)(x f 2ba x +=数与 的图象关于直线对称.)(a x f y +=)(xb f y -=2ba x +=8.几个函数方程的周期(约定a>0)（1），则的周期T=a ；)()(a x f x f +=)(x f （2），，或,则的周期T=2a ；)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f 1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠)(x f 9.分数指数幂 (1)（，且）.(2)（，且）.mna=0,,a m n N *>∈1n >1mnm naa-=0,,a m n N *>∈1n >10．根式的性质（1）.（2）当；当.na =n a =n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩11．有理指数幂的运算性质(1) .(2) .(3).(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈12.指数式与对数式的互化式 .log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：，③.底的对数等于1：，01log =a 1log =a a ④.积的对数：，商的对数：，N M MN a a a log log )(log +=N M NMa a alog log log -=幂的对数：；M n Ma na log log =b mnb a n a m log log =13.对数的换底公式 (,且,,且, ).log log log m a m NN a=0a >1a ≠0m >1m ≠0N >推论 (,且,,且,, ).log log m na a nb b m =0a >1a >,0m n >1m ≠1n ≠0N >15.( 数列的前n 项的和为).11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a 12n n s a a a =+++L 16.等差数列的通项公式；*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈其前n 项和公式为.1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-17.等比数列的通项公式；1*11()n n n a a a q q n N q-==⋅∈其前n 项的和公式为或.11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩18.同角三角函数的基本关系式，=22sin cos 1θθ+=tan θθθcos sin 19正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩20和角与差角公式;sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m .tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m(辅助角所在象限由点的象限决定, ).sin cos a b αα+)αϕ+ϕ(,)a b tan b aϕ=21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴．sin 22sin cos ααα=⑵（，）．2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-21cos 2cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=⑶．22tan tan 21tan ααα=-22.三角函数的周期公式函数，x∈R 及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期sin()y x ωϕ=+cos()y x ωϕ=+ϕ；函数，(A,ω,为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期.2T πω=tan()y x ωϕ=+,2x k k Z ππ≠+∈ϕT πω=23.正弦定理.2sin sin sin a b cR A B C===24.余弦定理;;.2222cos a b c bc A =+-2222cos b c a ca B =+-2222cos c a b ab C =+-25.面积定理（2）.111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===26.三角形内角和定理在△ABC 中，有.()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+27.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .28.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（a ）·b= （a ·b ）=a ·b = a ·（b ）;(3)（a +b ）·c= a ·c λλλλ+b ·c.30．向量平行的坐标表示设a =,b =，且b 0，则a b(b 0).11(,)x y 22(,)x y ≠P ≠12210x y x y ⇔-=31. a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cosθ．32.数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．33.平面向量的坐标运算(1)设a =,b =，则a+b=.11(,)x y 22(,)x y 1212(,)x x y y ++(2)设a =,b =，则a-b=.11(,)x y 22(,)x y 1212(,)x x y y -- (3)设A ，B ,则.11(,)x y 22(,)x y 2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r(4)设a =，则a=.(,),x y R λ∈λ(,)x y λλ(5)设a =,b =，则a ·b=.11(,)x y 22(,)x y 1212()x x y y +34.两向量的夹角公式(a =,b =).cos θ=11(,)x y 22(,)x y35.平面两点间的距离公式 =,A B d ||AB =(A ，B ).=11(,)x y 22(,)x y 36.向量的平行与垂直设a =,b =，且b 0，则11(,)x y 22(,)x y ≠A ||b b =λa .⇔12210x y x y ⇔-=a b(a 0)a ·b=0.⊥≠⇔12120x x y y ⇔+=37.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC 的重心的坐标是11A(x,y)22B(x,y)33C(x,y).123123(,)33x x x y y y G ++++设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则O ABC ∆,,A B C ,,a b c （1）为的外心.（2）为的重心.O ABC ∆222OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r O ABC ∆0OA OB OC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r （3）为的垂心.O ABC ∆OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r38.常用不等式：（1）(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．,a b R ∈⇒222a b ab +≥（2）(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．,a b R +∈⇒2a b+≥（3）.b a b a b a +≤+≤-39已知都是正数，则有（1）若积是定值，则当时和有最小值；y x ,xy p y x =y x +p 2（2）若和是定值，则当时积有最大值.y x +s y x =xy 241s 40.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有.22x a x a a x a <⇔<⇔-<<或.22x a x a x a >⇔>⇔>x a <-41.斜率公式 （、）.2121y y k x x -=-111(,)P x y 222(,)P x y 42.直线的五种方程（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．11()y y k x x -=-l 111(,)P x y k （2）斜截式 (b 为直线在y 轴上的截距).y kx b =+l （3）两点式()(、 ()).112121y y x x y y x x --=--12y y ≠111(,)P x y 222(,)P x y 12x x ≠(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)1x ya b+=a b 、0a b ≠、（5）一般式 (其中A 、B 不同时为0).0Ax By C ++=43.两条直线的平行和垂直(1)若，①;②.111:l y k x b =+222:l y k x b =+121212||,l l k k b b ⇔=≠12121l l k k ⊥⇔=-(2)若,,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,1111:0l A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=①；②；11112222||A B C l l A B C ⇔=≠1212120l l A A B B ⊥⇔+=(,,).1111:0l A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=12120A A B B +≠直线时，直线l 1与l 2的夹角是.12l l ⊥2π45.点到直线的距离(点,直线：).d =00(,)P x y l 0Ax By C ++=46. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 .222()()x a y b r -+-=（2）圆的一般方程 (＞0).220x y Dx Ey F ++++=224D E F +-47.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:0=++C By Ax 222)()(r b y a x =-+-;;0<∆⇔⇔>交交r d 0=∆⇔⇔=交交r d .其中.0>∆⇔⇔<交交r d 22BA CBb Aa d +++=48.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，dO O =21;;交交交交交交421⇔⇔+>r r d 交交交交交交321⇔⇔+=r r d ;;交交交交交交22121⇔⇔+<<-r r d r r 交交交交交交121⇔⇔-=r r d .交交交交交交⇔⇔-<<210r r d 49.圆的切线方程(1)已知圆．(2)已知圆．220x y Dx Ey F ++++=222x y r +=①过圆上的点的切线方程为;000(,)P x y 200x x y y r +=50.椭圆的参数方程是.22221(0)x y a b a b +=>>cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩51.椭圆焦半径公式 ，.22221(0)x y a b a b +=>>)(21c a x e PF +=)(22x ca e PF -=52．椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.00(,)P x y 22221(0)x y a b a b +=>>2200221x y a b⇔+<（2）点在椭圆的外部.00(,)P x y 22221(0)x y a b a b +=>>2200221x y a b⇔+>53.双曲线的焦半径公式，.22221(0,0)x y a b a b -=>>21|(|a PF e x c =+22|()|a PF e x c=-54.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.12222=-by a x ⇒22220x y a b -=⇔x a by ±=(2)若渐近线方程为双曲线可设为.x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒λ=-2222by a x (3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x 轴上，，焦点在y 轴12222=-b y a x λ=-2222by a x 0>λ0<λ上）.55. 抛物线的焦半径公式px y 22=抛物线焦半径.22(0)y px p =>02pCF x=+过焦点弦长.p x x px p x CD ++=+++=21212256.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =（弦端点A ，由方1212||||AB x x y y ==-=-),(),,(2211y x B y x 程 消去y 得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）.⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 02=++c bx ax 0∆>αAB k 57(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )．(3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．59共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b 存在实数λ使a =λb ．⇔三点共线.P A B 、、⇔||AP AB ⇔AP t AB =u u u r u u u r ⇔(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r60.向量的直角坐标运算设a ＝，b ＝则123(,,)a a a 123(,,)b b b (1)a ＋b ＝；(2)a －b ＝；(3)λa ＝ (λ∈R)；112233(,,)a b a b a b +++112233(,,)a b a b a b ---123(,,)a a a λλλ(4)a ·b ＝；112233a b a b a b ++61.设A ，B ，则= .111(,,)x y z 222(,,)x y z AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r212121(,,)x x y y z z ---62．空间的线线平行或垂直设，，则.111(,,)a x y z =r 222(,,)b x y z =r a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=63.夹角公式设a ＝，b＝，则cos〈a ，b .123(,,)a a a 123(,,)b b b64．异面直线所成角=cos |cos ,|a b θ=r r ||||||a b a b ⋅=⋅r rr r6（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）θ090θ<≤o oa b ,,a b r r a b ,65.直线与平面所成角AB (为平面的法向量).sin ||||AB m arc AB m β⋅=u u u r u ru u u r u r m ur α66.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.l αβ--cos ||||m n arc m n θ⋅=u r r u r r cos ||||m narc m n π⋅-u r ru r r m u r n r αβ134.空间两点间的距离公式若A ，B ，则 =.111(,,)x y z 222(,,)x y z ,A B d ||AB =u u ur =67.球的半径是R ，则其体积,其表面积．343V R π=24S R π= (3)球与正四面体的组合体:棱长为,.a 68（是柱体的底面积、是柱体的高）.（是锥体的底面积、是锥体的高）.13V Sh =柱体S h 13V Sh =锥体S h 69.分类计数原理（加法原理）.12n N m m m =+++L 70.排列数公式 ==.(，∈N *，且)．注:规定.mn A )1()1(+--m n n n L ！！)(m n n -n m m n ≤1!0=71.组合数公式 ===(∈N *，，且).mn C m n m m A A m m n n n ⨯⨯⨯+--L L 21)1()1(！！！)(m n m n -⋅n m N ∈m n ≤72.组合数的两个性质(1)= ;(2) +=.注:规定.m n C mn n C -m n C 1-m nC m n C 1+10=n C 155.组合恒等式（1）;（2）;（3）; （4）11mm n n n m C C m --+=1m m n n n C C n m -=-11mm nn n C C m--==;∑=nr rnCn273.排列数与组合数的关系 .mmn n A m C =⋅！74．单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.n m （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）11--m n A 11---m n mn A A 1111---=m n n A A （着眼元素）种.11111----+=m n m m n A A A （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.)(n m k k ≤≤km k n kk A A --②浮动紧贴：个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；n kk k n k n A A 11+-+-③插空：两组元素分别有k 、h 个（），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有1+≤h k 排列数有种.kh hh A A 1+（3）两组元素各相同的插空个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？m n 当时，无解；当时，有种排法.1+>m n 1+≤m n n m n nn m C A A 11++=（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为.nn m C +75．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有m n m n.mn n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=--L （2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有m n m .mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--（3）(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到)L 12mP(P=n+n++n m ，，…，件，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有1n 2n m n 1n 2n m n m .!!...!!!!...21211m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m =⋅⋅=-76.二项式定理 ;nn n r r n r n n n n n nn nb C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---L L 22211)(二项展开式的通项公式.r rn rn r b aC T -+=1)210(n r ，，，L =77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).kkn kn n P k C P P -=-78.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）;（2）.0(1,2,)i P i ≥=L 121P P ++=L 79.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++L L80..数学期望的性质（1）.（2）若～,则.()()E a b aE b ξξ+=+ξ(,)B n p E np ξ=81.方差标准差=.()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+L L σξξD 82.方差的性质(1)；(2）若～，则.()2D a b a D ξξ+=ξ(,)B n p (1)D np p ξ=-83..在的导数.)(x f ),(b a ()dy dff x y dx dx''===00()()lim lim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆84.. 函数在点处的导数的几何意义)(x f y =0x 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是)(x f y =0x )(x f y =))(,(00x f x P )(0x f '.))((000x x x f y y -'=-85..几种常见函数的导数(1) （C 为常数）.(2) .(3) .0='C '1()()n n x nx n Q -=∈x x cos )(sin ='(4) (5) ；(6) ; .x x sin )(cos -='x x 1)(ln ='ax a x ln 1)(log ='x x e e =')(a a a xx ln )(='86..导数的运算法则（1）.（2）.（3）.'''()u v u v ±=±'''()uv u v uv =+'''2()(0)u u v uv v v v -=≠87..复合函数的求导法则设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U 处有导数，则复合函()u x ϕ=x ''()x u x ϕ=)(u f y =x ''()u y f u =数在点处有导数，且，或写作.(())y f x ϕ=x '''x u x y y u =⋅'''(())()()x f x f u x ϕϕ=89.复数的相等.（）,a bi c di a c b d +=+⇔==,,,a b c d R ∈90.复数的模（或绝对值）=.z a bi =+||z ||a bi +91.复数的四则运算法(1)(2);()()()()a bi c di a c b d i +++=+++()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-(3);(4).()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++的角度α︒0︒30︒45︒60︒90︒120︒135︒150︒180︒270︒360的弧度α06π4π3π2π32π43π65ππ23ππ2αsin 0212223123222101-0αcos 1232221021-22-23-1-01αtan 03313无3-1-33-0无15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x=图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当时，22x k ππ=+()k ∈Z ；当 max 1y =22x k ππ=-时，．()k ∈Z min 1y =-当时，()2x k k π=∈Z ；当max 1y =2x k ππ=+时，．()k ∈Z min 1y =-既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()k ∈Z 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数．()k ∈Z 在上是[]()2,2k k k πππ-∈Z 增函数；在[]2,2k k πππ+上是减函数．()k ∈Z 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上是增函数．()k ∈Z 对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函数性质。