2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（五）46.已知函数f ( x)x2ax 4 （ aＲ）的两个零点为x1, x2 , 设 x1 x2.（Ⅰ）当 a0 时，证明：2x1 0．（Ⅱ）若函数g (x)x2| f ( x) |在区间 (, 2)和(2,) 上均单调递增，求 a 的取值范围.47.设函数 f ( x)2R ）．x ax ln x （a（Ⅰ）若 a 1时,求函数 f (x)的单调区间；（Ⅱ）设函数 f ( x) 在[1, ] 有两个零点，求实数 a 的取值范围．e48.已知函数 f ( x) ln( ax b) x ，g (x)x2ax ln x ．（Ⅰ）若 b 1,F ( x) f ( x) g (x) ，问：是否存在这样的负实数 a ，使得 F ( x) 在x1处存在切线且该切线与直线y1 x 1平行，若存在，求a的值；若不存在，请说明理23由．（Ⅱ）已知 a 0 ，若在定义域内恒有 f (x) ln( ax b) x 0 ，求 a(a b) 的最大值．49.设函数 f ( x) x ln x b(x1 )2(b R)，曲线y f x在1,0处的切线与直线2y3x 平行．证明：（Ⅰ）函数 f ( x) 在 [1,) 上单调递增；（Ⅱ）当 0 x 1 时， f x1.50.已知 f（ x） =a（ x-ln x）+2 x 1， a∈ R.x 2（I ）讨论 f（ x）的单调性；（II ）当 a=1 时，证明f（ x）＞ f’（ x） + 3对于任意的x∈ [1,2] 恒成立。

2251.已知函数f（x） =x +ax﹣ lnx， a∈ R．（1）若函数f（x）在 [1， 2]上是减函数，求实数 a 的取值范围；（2）令 g（ x） =f（ x）﹣ x2，是否存在实数a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数g （x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由；（3）当 x∈（ 0， e]时，证明： e2x2－5x＞ (x+1)ln x．2152.已知函数f（x） = 3 x3－ ax+1．（1）若 x=1 时， f（ x）取得极值，求 a 的值；（2）求 f（ x）在 [0， 1]上的最小值；（3）若对任意 m∈ R，直线 y=﹣ x+m 都不是曲线 y=f（ x）的切线，求 a 的取值范围．53.已知函数 f x axe x（ a 0）（1）讨论 f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式 f x ln x x 4 的解集中有且只有两个整数，求实数 a 的取值范围 .54.已知函数f n x x n 11, g m x m x mx （其中me, n,me为正整数，e为自然对x1数的底）（1）证明：当x 1 时， g m x0 恒成立；（ 2）当n m3时，试比较f n m 与 f m n 的大小，并证明.x55.已知函数f（x） =e 和函数 g（ x）=kx+m（ k、 m 为实数， e 为自然对数的底数，e≈ 2.71828）．（1）求函数 h（ x） =f（ x）﹣ g（ x）的单调区间；（2）当 k=2，m=1 时，判断方程 f（ x） =g（x）的实数根的个数并证明；（3）已知 m≠1，不等式（ m﹣1） [f（ x）﹣ g（ x） ] ≤0对任意实数 x 恒成立，求 km 的最大值．56.已知函数f ( x)ln x a( x 1) (a R) ．x（Ⅰ）若 a 1 ,求y f ( x) 在点1, f(1) 处的切线方程；（Ⅱ）求 f ( x) 的单调区间；（Ⅲ）求证：不等式111对一切的 x(1,2) 恒成立．ln x x 1257.已知函数 f ( x) ( x 1)2 a ln x （a R ）.（Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）若函数 f ( x) 存在两个极值点x1、x2x1x2，求f (x2)的取值范围．x158.设函数f ( x) ln x m, m R ．x（Ⅰ）当 m e ( e 为自然对数的底数)时，求f (x)的极小值；（Ⅱ）若对任意正实数 a 、b（a b ），不等式f (a) f (b)恒成立，求m 的取值范a2b围．59.已知函数f x1x32ax23a2 x b , ( a, b R)3（1）当a 3 时,若 f x 有 3 个零点,求 b 的取值范围；（2）对任意a [4,1] ,当x a 1, a m 时恒有 a f x a ,求m的最大值,并求此5时 f x 的最大值。

60.已知函数 f x x2ax a e x．（1）讨论f x 的单调性；（2）若a0,2，对于任意 x1, x24,0 ，都有 f x1 f x24e 2me a恒成立，求 m 的取值范围．61.已知函数 f(x)= x － b， g( x)= 2a ln x ．x（1）若 b 0 ，函数 f (x) 的图像与函数 g (x) 的图像相切，求 a 的值；（2）若 a 0 ， b 1，函数 F ( x) xf ( x) g(x) 满足对任意 x 1 , x 2(0,1] （ x 1 x 2），都有 F (x 1 )F ( x 2 )311 恒成立，求 a 的取值范围；x 1 x 2（3）若 b1 ，函数 G (x) =f(x)+ g(x),且 G( x )有两个极值点 x 1,x 2,其中 x 11，求0，3G ( x 1 ) G (x 2 ) 的最小值．62.已知函数 f ( x) ln( x 2 a)( a 0) .（ 1）若 a 3 ，求 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；（2）令 g( x) f (x)2 x3 ，判断 g(x) 在 (0,) 上极值点的个数，并加以证明；3f ( x) (3) 令 h( x)，定义数列 { x n }: x 1 0, x n 1h( x n ) . 当 a3且2xx (0, 1]( k 2,3,4, ) 时，求证 :对于任意的 mN * ，恒有 | xx |1 .k2m kk8 9k 163.已知二次函数 f ( x)x2ax m 1 ，关于 x的不等式 f ( x)(2 m 1)x 1 m2的解集为g ( x) f (x)( m, m 1) ， ( m x 10) ，设．（ 1 ）求 a 的值．（ 2） k( k R )如何取值时，函数(x)g( x)k ln( x1) 存在极值点，并求出极值点．（ 3）若 m1，且 x0 ，求证：[ g( x1)]n g (x n1)≥ 2n2( x N*) ．64.已知函数f x ln x ， g x a e x2b （其中e为自然对数的底数， f x ）.（1）若函数f x 的图象与函数g x的图象相切于 x 1处，求 a, b 的值；e（2）当2b e a 时，若不等式f x g x恒成立，求 a 的最小值.65.已知函数 f ( x) x2ax 1，g( x) ln x a( a R )．⑴当 a 1 时，求函数h( x) f ( x)g (x) 的极值；⑵若存在与函数 f ( x) ， g( x) 的图象都相切的直线，求实数 a 的取值范围．66.设函数 f ( x) (1 mx)ln(1x) .(1) 若当0x 1 ,函数 f (x) 的图象恒在直线y x的上方 , 求实数m的取值范围;时(2)求证:e (1001 )1000.4.1000f ( x) a ln x (a R)67.已知函数x.（1）若a 4 ，求曲线 f ( x) 在点 (1,4)处的切线方程；（2）若函数 f ( x)的图象与函数g( x) 1 的图象在区间(0,e2 ] 上有公共点，求实数a的取值范围 .68.已知函数f x 1nx a1 a R . x2ax（Ⅰ）若 a0 ，证明：函数 f x 在e，上单调递减；（Ⅱ）是否存在实数 a ，使得函数f x 在0，8内存在两个极值点？若存在，求实数 a 的3取值范围；若不存在，请说明理由. （参考数据：1n2 0.693 ， e2 4.5 ）参考答案46.解： （Ⅰ）证法 1：由求根公式得： x 1aa 2 162因为 a0 ，所以，一方面：aa 2 16 aa 2x 122 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分x 1 2(a 4)a 2 16a 2 16 8aa 216另一方面，由220 ，得 x 1 2. 于是， 2 x 1 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分证法 2：因为 f (x) 在区间 (, a ) 上单调递减，在 ( a,) 上单调递增，22所以，当 a 0 时， f (x) 在区间（ -2,0）上单调递减 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分又因为： f (2) f (0) 2a ( 4)0 ，所以：2 x 1 0 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分ax 4, x x 1;(Ⅱ ) g (x)2x 2 ax 4, x 1xx 2 ;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ９分ax 4, xx 2 .若 a0, 则 g(x)在（ - ，x 1 ) 上单调递减，从而 g(x) 在区间 (, 2) 上不可能单调递增，于是只有 a 0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 11当 a0 时，由（ 1）知：2 x 1 0 ，于是，由 g(x) 在 (, x 1 ) 上单调递增可知，g( x) 在 ( , 2) 也是单调递增的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分又因为 g (x) 在 ( a, x 2 ) 和 ( x 2 ,) 均单调递增，结合函数图象可知，g (x)在 ( a, ) 上单44调递增，于是，欲使 g(x) 在（ 2，+）上单调递增，只需2a，亦即 a 8 ．4综上所述， a 的范围是 a(0,8] .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 1547.（Ⅰ）定义域x (0, )f (x)2x112x 2x 1 xx即 2x 2x 10 即 0x 1f ( x) 的增区间为 (0,1) ，减区间为 (1, )（Ⅱ） f (x)x 2ax ln x 0 即 ax ln xx 令 g( x)xln x，其中 x [ 1 , e] x e1x ln x x2ln x 1g ( x)1 x 即 x 1x2x2g( x) 的减区间为1[ ,1) ，增区间为 (1, e]eg( x) min g (1) 1又 g( 1 )e1， g (e) e 1eee1函数 f (x) 在 [ , e] 有两个零点，则 a 的取值范围是1(1,e ]e148.（ I ）由题意，F ( x) 定义域 (0, ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .分2 a不妨假设存在，则F (x)ln( ax1)x x 2 axln x, x(0, 1)a当 x (0,1 ) 时， x2 ax x 2 axaF (x) ln( ax1) x x 2 ax ln xln( ax 1) ln x axx x 2, ⋯ .3分F ' ( x)a 1 1 a 1 2xax x令 F ' (1) a 1 2 1 a 1 则 1 或 a （舍）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分a 1 2 2当 a 1 1 (0, 2), x 1 (0, 2)时， (0, )2 a存在， a1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .分62（II ）（方法一） f ( x) ln( ax b) x 0① 当 a0 时，定义域 (， b) ，则当 x时， f ( x)，不符； ⋯ .7 分aaa( x ab )② 当 a0 时， f ' (x)1a（ axb0 ）axbax b当b xa b时， f '( x)0 ；当 xa b时， f ' ( x) 0aaa∴ f ( x) 在区间 (b ab) 上为增函数，在区间 a b) 上为减函数，a(a ，a∴f ( x) 在其定义域 ( b，) 上有最大值，最大值为f (ab )aa由 f (x)0，得 f (a b) ln aa b 0aa∴ b a a ln a∴ a(a b) 2a 2 a 2 ln a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯⋯⋯ 分.12设 h( a)2a 2 a 2 ln a ，则 h ( a)4a (2a ln aa)a(32ln a) 。