2003年浙江大学数学分析试题答案
2003年浙江大学数学分析试题答案
一、,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<->>∀m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k
n a ，
a a k n k =∞
→lim ，
所以，
ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n
二 、,,0N ∃>∀ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>∃>∀δε当1'''δ<-x x 时，
ε<-)''()'(x f x f
对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x
ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g
当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以
,0,02>∃>∀δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连
续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取
},m in{21δδδ=即可。

三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('<x f 所以)(x f 递减， 又2))((''2
1
))((')()(a x f a x a f a f x f -+
-+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所
以)(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。

四、⎰
⎰==1
0,)(1)()(x dt t f x
dt xt f x ϕ2
)()()('x
dt t f x x f x x
⎰
-=
ϕ，
2
2)(lim
)(lim
)
(lim
)0('0
2
A
x x f x dt t f x
x x x
x x ====→→→⎰ϕϕ， 2
)(lim )
(lim )()
(lim )('lim 2
002
00A
x dt t f x
x f x dt t f x
x f x x
x x x
x x =
-=-=⎰
⎰
→→→→ϕ，)('x ϕ在0=x 连续。

五、当k m ≠时，不妨设k m <，
⎰⎰--+--=1
111)
(2)(2])1[(])1[(!!21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m =
--⎰
-dx x x k k m m 1
1
)(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ⎰-+--------1
1
)1(2)1(211
)
1(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(=
0])1][()1[()1(])1[(])1[(11
)(221
1
)1(2)1(2=---==---⎰⎰-+-+-dx x x dx x x k m m k k m m k k
当k m =时，
⎰⎰
----=
1
11
1
)(2)(22
2])1[(])1[(!21)()(dx x x m dx x P x P m m m m m k m
⎰⎰
-+---------=--1
1
)1(21211
1
221
1
)(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(dx
x x x x dx x x m m m m m m m m m m m m =⎰-+----1
1
)
1(21
2
]
)1[(]
)1[(dx x x m m m m =⎰
----=1
1
)2(22])1][()1[()
1(dx x x m m m m
=
⎰---11
2])1[()!2()1(dx x m m m =⎰--1
2])1[()!2()1(2dx x m m m
六、J 是实数，,0,0>∃>∀δε当δ<T 时，当),(1i i i x x -∈ξ时，
εξ<--∑=-n
i i i
i
J x x
f 1
1))((
⎰∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞
→101
01lim dx
x n
n i s s
n i n ，当1->s 时，该积分收敛。

七、∑=-n
k k 1)1(有界，
2
1
x
n +在),(+∞-∞上单调一致趋于零，由狄利克雷判别法知，∑∞
=+-12)1(n n
x n 在),(+∞-∞上一致收敛，∑∞=+12
1n x n 与∑∞
=1
1n n 同敛散，所以发散； 当0=x 时，∑∞
=+122)1(n n x x 绝对收敛，当0≠x 时，∑∞
=+122
)
1(n n
x x 绝对收敛； e n
n x x x R n
n
n 1
)11(11)1(1)(2
2→+=
+=
取，所以不一致收敛 八、1.
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=----=-+-=-=s s
s
s
s
s
tdt
tdt dt
s t dt t s dt s t dt t s dt t s s I 0
10
1
1
1
ln ln )ln()ln()ln()ln(ln )(
0111)(''),1ln(ln )('<---=-+-=s s s I s s s I ，当2
1
=s 时，
⎰⎰+=--=-=21021
12ln )21ln 21(2ln 2)(dt tdt s I
2. v x y x
y x
y y x v u x y v xy u 32,,),(),(,,222=-=∂∂==,⎰⎰==31313ln 3231dv v du J
3.
y x xy y x dxdyD y x y x J D
+=++-----=⎰⎰22222:])1(1[3
⎰⎰⎰⎰⎰
---++-+-
+=++=++=-+=44032
324
34344
34
2cos sin 1cos sin 0
))
4
(2sin 2())4
(2sin 1(338)2sin 2()2sin 1(338)cos sin 1()cos (sin 33)cos sin sin cos (34π
π
π
πππ
πθθθθππ
θθθθθθθθθθθθθdx x x d d dr
r r r r d J
⎰--=π032)
2cos 2()2cos 1(338dx x x =--⎰
π
3
2
)
2cos 2()2cos 1(dx x x ⎰⎰⎰
+=+=+203222032240
324)
cot 3(sin 8)cos sin 3(sin 42)sin 21(sin 4π
ππ
x x dx x x xdx dx x x
⎰⎰⎰⎰⎰
=+==+=+=+-=∞∞20220
40032322
3
218)2cos 1(272cos 278)1(278)3(8)cot 3(cot 8π
ππ
πdx x xdx x dx x dx x x d J=π27
3
4。