教学设计3．1.2空间向量的数乘运算整体设计教材分析本节课是在学习了空间向量的相关概念和空间向量加减法法则的基础上学习的，是空间向量加减法法则的进一步应用和补充．本节课在介绍实数与向量乘积的意义的基础上引入空间向量共线定理，类比平面向量基本定理得到空间向量共面定理，为后面将要学习的空间向量基本定理打下基础，具有承上启下的重要作用．因为空间向量的数乘运算以及空间向量共线定理与平面向量数乘运算以及共线定理完全一样，空间向量共面定理其实就是平面向量基本定理的逆定理，所以在教学中仍应采用类比、比较的教学方法，通过问题驱动、启发式、自主探究式的教学方法引导学生自主地完成本节课的学习．课时分配1课时教学目标知识与技能1．掌握空间向量的数乘运算及其运算律．2．理解共线向量定理和向量共面定理．过程与方法1．运用类比方法，经历向量的数乘运算和向量共线定理由平面向空间推广的过程；2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数乘运算及其运算律的意义．情感、态度与价值观1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生的空间想象能力，能借助图形理解空间向量数乘运算及其运算律的意义；3．培养学生空间向量的应用意识．重点难点教学重点：1．空间向量的数乘运算及其运算律、几何意义；2．空间向量的加减运算在空间几何体中的应用；3．空间向量共线定理和共面定理．教学难点：1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；2．空间向量的数乘运算及其几何的应用和理解；3．空间向量共线定理和共面定理的理解．教学过程引入新课提出问题：请同学们回忆“平面向量的数乘运算”的意义是什么，有什么性质，满足什么运算律．活动设计：首先同学之间相互交流，教师适时介入，并一一板书出来．活动结果：(板书)1．实数λ和向量a的乘积λa是一个向量．2.||λa＝||λ||a.3．λa的方向①当λ>0时，λa的方向和a方向相同；②当λ<0时，λa的方向和a方向相反．4．数乘运算的运算律：①λ(μ a)＝(λμ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb.设计意图：这既复习了“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，又为类比得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律作好了准备，而且在下面得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律时，只需将“平面向量的数乘运算”中的“平面”换成“空间”即可．何乐而不为呢！探究新知提出问题1：上节课我们已经学习了空间向量的加减法运算，请同学们类比“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，猜想(给出)“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律．即实数λ和向量a的乘积(λa)的意义是什么？有什么性质？满足什么运算律？活动设计：教师从2a，－2a的意义中发现并类比平面中数乘的意义对学生进行引导，学生自己画出2a，－2a并总结λa的意义和运算律，然后自由发言，教师进行补充．师生发现“空间向量的数乘运算”实际上就是“平面向量的数乘运算” .活动成果：(活动结果同“引入新课”中的活动结果，只需特别标明“空间向量的数乘运算”即可)设计意图：引导学生利用已经学过的平面向量的数乘运算的意义类比得出空间向量数乘运算的意义，并利用空间向量的加减法运算来验证．提出问题2：在学习平面向量时，共线向量是怎么定义的？我们如何规定0与任意向量的关系？在空间向量中，又应当怎样定义和规定呢？活动设计：学生自由发言．活动成果：同学们一致认为，只要照搬以前的定义和规定即可，即(板书)在空间，方向相同或相反的向量称为共线向量．我们规定0与任意向量共线．设计意图：复习平面向量共线的定义，类比得出空间向量共线的定义．提出问题3：a ＝λb 是a ，b 共线的什么条件？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．在恰当的时机提醒学生回忆“平面向量”中两向量共线时的结论．活动成果：(板书)若a ＝λb ，则a ，b 方向相同或相反，或a ＝0，则a ，b 共线；若a ，b 共线，b ＝0，则不一定存在实数λ使得a ＝λb .所以a ＝λb 是a ，b 共线的充分不必要条件．若b ≠0，则若a ，b 方向相同时，存在唯一确定的实数λ＝||a ||b ，使得a ＝λb ； 若a ，b 方向相反时，存在唯一确定的实数λ＝－||a ||b ，使得a ＝λb ； 若a ＝0时，存在唯一确定的实数λ＝0，使得a ＝λb .空间向量共线定理：a ，b 共线(b ≠0)存在唯一确定的实数λ使得a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP →＝OA →＋t a .其中向量a 叫做直线l 的方向向量．设计意图：增强对空间向量数乘运算的理解和运用，引出空间向量共线定理及其推论．提出问题4：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．对空间任意两个不共线的向量a 、b ，如果p ＝x a ＋y b ，那么向量p 与向量a 、b 有什么位置关系？反过来，向量p 与向量a 、b 有什么位置关系时，p ＝x a ＋y b?活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论；教师先提示同学们回忆平面向量基本定理，然后巡视指导学生讨论．活动成果：空间向量共面定理：如果两个向量a 、b 不共线，那么向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y)，使p ＝x a ＋y b .设计意图：引导学生由平面向量基本定理入手，探究出空间三个不共线向量共面的充要条件．理解新知提出问题1：空间三点A 、B 、C 共线，O 为直线外一点，若OA →＝xOB →＋yOC →，则x ＋y＝？反之，空间四点A 、B 、C 、O ，若满足OA →＝xOB →＋yOC →，且x ＋y ＝1，能否得到A 、B 、C 三点共线？活动设计：学生自由发言，说出自己解决问题的思路，教师进行补充．活动成果：思路分析：A 、B 、C 共线AB →∥AC →，利用向量共线的定理解决．解：∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴存在唯一确定的实数λ使得AB →＝λAC →，即OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)．∴OA →＝－1λ－1OB →＋λλ－1OC →. ∴x ＝－1λ－1，y ＝λλ－1.∴x ＋y ＝1. 反之∵OA →＝xOB →＋yOC →，且x ＋y ＝1，∴OA →＝xOB →＋(1－x)OC →，即OA →－OC →＝x(OB →－OC →)．∴CA →＝xCB →.∴CA →∥CB →.∴A 、B 、C 三点共线．A 、B 、C 三点共线的充要条件是对于空间任一点O ，都存在x ＋y ＝1，使得OA →＝xOB →＋yOC →.设计意图：指导学生将点共线和向量共线进行转化，培养学生转化的思想，深化对向量共线定理的理解．提出问题2：已知空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与A 、B 、C 是否共面？活动设计：教师指导学生根据问题1解决的方案思考四点共面应该如何向向量关系转化；学生自己在练习本上解决，不能解决的小组讨论解决．活动成果：1．P 、A 、B 、C 四点共面向量PA →、PB →、PC →共面．2．P 、A 、B 、C 四点共面的充要条件是对于空间任一点O ，都存在x ＋y ＋z ＝1，使得OP→＝xOA →＋yOB →＋zOC →.设计意图：指导学生将点共面和向量共面进行转化，深化对向量共面定理的理解． 运用新知如图，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OH OD＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．思路分析：欲证E ，F ，G ，H 四点共面，只需证明EH →，EF →，EG →共面．证明：因为OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OH OD＝k ， 所以OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OG →＝kOC →，OH →＝kOD →.由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →.因此EG →＝OG →－OE →＝k(OC →－OA →)＝kAC →＝k(AB →＋AD →)＝k(OB →－OA →＋OD →－OA →)＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →.由向量共面的充要条件知E ，F ，G ，H 四点共面．点评：解决四点共面问题要等价转化成向量共面问题．巩固练习已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，证明：E ，F ，G ，H 四点共面．证明：∵E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点， ∴EH →＝FG →＝12BD →. ∴EG →＝EF →＋FG →＝EF →＋EH →.∴E ，F ，G ，H 四点共面．变练演编如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是边PA 、PB 、PC 、PD 的中点．(1)在图中找出与向量PA →共线的一个向量；(2)在图中找出与向量OA →，PB →共面的一个向量．答案：(1)OG →，GO → (2)AH →，CH →达标检测1．下列命题中正确的是( )A ．若向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．单位向量的模为1且共线D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb2．空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A.32DB → B ．3MG → C ．3GM → D ．2MG → 3．下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝04．有四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MN →＝xMA →＋yMB →，则M 、N 、A 、B 共面；④若M 、N 、A 、B 共面，则MN →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：1.A 2.B 3.C 4.B课堂小结1．知识收获：空间向量的数乘运算法则和运算律；空间向量共线定理及其推论；空间向量共面定理．2．方法收获： 类比方法、数形结合方法．3．思维收获：类比思想、转化思想．布置作业课本本节练习2,3题；补充练习．补充练习基础练习1．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)2．当||a ＝||b ≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定3．已知两个向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，则A ，B ，C ，D 四点的位置关系是________．答案：1.12a ＋14b ＋14c 2.A 3.共面 拓展练习1．数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，空间三点A 、B 、C 共线，O 为直线外一点，且OA →＝a 1OB →＋a 101OC →，则S 101＝________.2．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________．答案：1.1012 2.13设计说明本节课介绍了空间向量的数乘运算的意义以及空间向量的共线定理和共面定理．空间向量的数乘运算由平面向量的数乘运算类比得到，在平行六面体中验证．空间向量的共线定理由数乘运算的意义中发现，并经过学生证明．空间向量共面定理由平面向量基本定理发现，并结合共线定理由学生进行证明．在理解新知环节，重点设计问题加深对共线定理和共面定理的理解，得到三点共线和四点共面的充要条件．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行变练演编，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料1如图，在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别是A ′D ′，D ′D ，D ′C ′的中点，请选择恰当的基底向量证明：EG ∥AC.思路分析：要证明EG ∥AC ，只需证EG →∥AC →.证明：∵EG →＝'ED ＋D ′G →＝12AD →＋12AB →，AC →＝AB →＋AD →＝2EG → ，∴EG ∥AC.2已知向量e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2，证明：向量a ，b ，c 共面．思路分析：要证明向量a ，b ，c 共面，只需证a ＝m b ＋n c . 证明：设a ＝m b ＋n c ，则e 1＋e 2＝m(3e 1－2e 2)＋n(2e 1＋3e 2)． 即e 1＋e 2＝(3m ＋2n)e 1＋(3n －2m)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m ＋2n ＝1，3n －2m ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝113，n ＝513.∴a ＝113b ＋513c . ∴向量a ，b ，c 共面．(设计者：殷贺)。