解： （4）令与速度矢量平行的加速度为 aτ = a1 i + b1 j ，其斜率为 b1 / a1 = 4 / 3 ，则与速度矢量垂直 的加速度为 a n = a − aτ = (24 − 0.75b1 ) i + (6 − b1 ) j ，其斜率为
(6 − b1 ) /(24 − 0.75b1 ) = −3 / 4
)
h − h1 a 又 tgβ = 2 = 3b g
1.22 解：
⇒a=
1.23
解 1：自由面方程： z =
ω 2r 2
2g
⇒ ω = 2 gz r ，将 r = 0.6m
z = 1.2m 代入
得 ω = 8.087 rad s 。又
ω=
解 2：
2πn 60
⇒n=
R 0
30ω = 77.2 r min 2π
⎣
向下的力
⎡
3 ⎤ 2 D ⎥ ⋅ π (D 2 ) 2 ⎦
2 2 ⎡1 2 1 ⎛ D⎞ 3 ⎛ D⎞ 3 ⎤ D −π⎜ ⎟ D⎥ ρg (∀ 2 + ∀ 3 ) = ρg ⎢ πD 3D − π ⎜ ⎟ 3 ⎝2⎠ 2 ⎝2⎠ 2 ⎥ ⎢3 ⎣ ⎦
⎡ ⎛ D ⎞2 ⎤ 7 3 故 R = ρg ⎢π ⎜ ⎟ H − πD 3 ⎥ = 61.5 N 24 ⎢ ⎝2⎠ ⎥ ⎣ ⎦
M =τ ⋅S ⋅
1.15
解：铁块所受剪应力 F＝τ ⋅ S＝μ
U ⋅ S ，铁块稳定下滑，则 h
mg sin α = F = μ
故， U =
U ⋅S h
mg sin α ⋅ h = 0.925 m s μ ⋅S
1.16
解： p 0 + ρ1 gh1 + ρ 2 gh2 = p a + ρ 3 gh
1 ρω 2 r0 2 2
则顶盖的相对压力分布为：
p=
顶盖受力
1 ρω 2 r 2 − r0 2 2
R
(
)
R 0
0 = ∫ p ⋅ 2πrdr = πρω 2 ∫ r 3 − r0 r dr
2 0
2 R4 2 R = r0 ⋅ 得： 4 2
(
)
⇒ r0 = 2 R 2 = 2m
1.27
解：闸门在水下的长度 l1 = h sin α = 3.464m 。 闸门受力
I C1 = BH 3 12
y D1 = yC1 +
I C1 2 = H yC1 A1 3
1 ρgh 2 B ，作用点距底部 h 3 。 2
即，距底部 H 3 处。同理可得右边的总压力 P2 = 故闸门左右两侧的水平合力为
R = P1 − P2 =
1 ρgB (H 2 − h 2 ) 2
设此合力的作用点距底部 x 处，则
1.21 解：水平面成一直线时板不受力。由体积不变得
p A − ρ 2 g (h2 − h1 ) + ρ1 g (h2 − h3 ) = p B + ρ 2 g (h4 − h3 )
(h
'
1
+ h 2 = h1
'
⇒ h2 − h1 = 2(h2 − h1 )
'
' '
)
(h
'
2
+ h 2 = h2
2(h2 − h1 ) g 3b
R R 0 0
F = ∫ p ⋅ dS = ∫ p ⋅ 2πrdr = ∫ ρω 2πr 3 dr = ρghπR 2
0
1.26
解：由式（1.5.9ห้องสมุดไป่ตู้有：
⎛ ω 2r 2 ⎞ p = ρg ⎜ ⎜ 2g − z ⎟ ⎟+C ⎝ ⎠
当z =0
r = r0 时， p = p a ，代入上式得
C = pa −
⇒ L2 = 2h − 14h 9 = 4h 9 M 2 = P2 ⋅ L2 = 2 ρgh 3 B 3
于是关闭闸门所需的力 P 由力矩平衡方程
P ⋅ h = M1 + M 2
⇒P=
7 ρgh 2 B = 11445 N 6
1.31
解：由表 1.6.1 知， y C = 所以，
4R 3π
8 ⎞ 4 ⎛π IC = ⎜ − ⎟R ⎝ 8 9π ⎠
−3
y =h 2
= −1.139 × 10 × 0.3 × 4 0.5 × 10 = −2.734 N m 2
1.12 解： τ＝μ ⋅
−3
U h
其中 h =
0 .9 − 0 .8 × 10 −3 m 2
F = τ ⋅ S = 0.02 × = 1.01N
1.13 解：
50 × 3.14 × 0.8 × 10 −3 × 20 × 10 −3 0.05 × 10 −3
2 2 a = ax + ay |(1, 2) = (∂v x / ∂x ⋅ v x ) 2 + (∂v y / ∂x ⋅ v x + ∂v y / ∂y ⋅ v y ) 2 = 167.71m / s 2 。
2.4 （1） a x = 35, a y = 15 ； （2）260。 解： （1） a x | ( 2 ,1) = (∂v x / ∂x ⋅ v x + ∂v x / ∂y ⋅ v y ) | ( 2 ,1) = 35 ，
1.34 解：由力的平衡有：
G + ρgh ⋅ ⇒D=
πd 2
4
= ρg
l πD 2 ⋅ 2 4
8G 2hd 2 + = 0.1m l πρgl
1 h ⋅ h = ρgh 2 2 2
1.35
解： p x = ρg
pz = ∫
h a
0
ρg (h − z )dx =
2 h ρgh 3 a ⇒ p 0 = p a + ρ1 gΔh − ρgh1
a y | ( 2,1) = (∂v y / ∂x ⋅ v x + ∂v y / ∂y ⋅ v y ) | ( 2,1) = 15 ；
筒的线速度为 v = ω ⋅ d 2
1.14
3 d d ω ⋅d =μ⋅ ⋅ πd ⋅ = μωπd 4G 2 2G 2 解：园盘半径 r 处的速度为 rω rω rω ， τr = μ ⋅ dF = τ r ⋅ dS = μ ⋅ ⋅ 2πrdr ， h h 4 R M = ∫ dF ⋅ r = μωπR 2h 0
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
无关 C C A
p1 > p 2 > p3
解： τ = 解：
1.10 1.11
μ
du ， dy
30 = μ ⋅
2 ， 2 × 10 −3
μ = 0.03 N ⋅ s m 2
τ＝μ ⋅
dv dy
y =h 2
⎡ ⎛ 2y ⎞ 2⎤ = μ ⋅ ⎢− Vmax ⋅ 2⎜ ⎟ ⋅ ⎥ ⎝ h ⎠ h⎦ ⎣
p 0 = 1.465 × 10 5 Pa
1.17 解： − pV +
ρ 水 g (h + h1 + h2 ) = ρ 油 gh1 + ρ 水银 gh2
ρ 油 = 800 kg m 3
1.18 解： （1）作用在箱底上的静水压力
p = ρg (0.6 + 0.3) = 300186Pa
F = ρg (∀1 + ∀ 2 )
1.36
解： p 0 + ρgh1 =
ρ1 gΔh + p a
p 2 = p 0 + ρgh2 Px = ( p 2 − p a ) ⋅ πR 2 = [ρ1 gΔh + ρg (h2 − h1 )] ⋅ πR 2 = 29.28KN
方向向左。垂直分力向下，压力体体积即为半球体积 ∀＝ πR 3
2 3
hD = (H − 0.9)m ，偏距 ε = hD − hC = 0.1m 。
IC b 4 12 b2 1 = = = = 0.1 ε= 2 又 hC A (H − 1)b 12(H − 1) 3(H − 1) ⇒ 0.3(H − 1) = 1 ⇒ H = 4.33m
1.30
解：将直角形闸门分为水平和直立两部分，设它们的静压力分别为 P 1, P 2 ；它们的压 力中心到转轴的力臂分别为 L1 , L2 ；对转轴的力矩分别为 M 1 , M 2 。
2 Pz = ρg∀ = πR 3 ρg = 2.56 KN 3
习题解答 2.1 略。 2.2（1） v = 3i + 4 j ； （2） ∂v / ∂t = 0 ； （3）( v ⋅ ∇ ) v = 24i + 6 j ； （4） a τ = 11.52i + 15.36 j （5）
a n = 12.48i − 9.36 j 。
解得 b1 = 15.36 ， a1 = 11.52 ，故得与速度矢量平行的加速度为 a τ = 11.52i + 15.36 j 。 2.3 v = 30.41m / s, a = 167.71m / s 。
2
解： v | (1, 2 ) =
2 2 vx + vy | (1, 2 ) = 30.41m / s ；
sin α
，对支点 O 列力矩平衡方程如下：
l F ⋅ l cos α = G ⋅ cos α + P( y D + h1 sin α ) 2 F = 162KN 代入得：
1.28 解：左边的总压力
P1 = ρg
将 y C1 = H 2
1 H ⋅ HB = ρgH 2 B 2 2
A1 = BH 代入作用点公式
方向向上
F = 3977 N