Kij
Kim
Kin
m
K rs 22
K
e rs
e1
K 叠加
K
j1
K ji
K jj
K jm
K
jn
r 1, 2,
, n;
s 1, 2, , n
K
m1
K mi
K mj
Kmm
K
mn
K
n1
K ni
K nj
K nm
Knn
m
m
K e 2n2n
u 2n1
Fe 2n1
e1
e1
7.30
7.2.2 整体刚度矩阵
m个单元n结点弹性体,结点位移是整个集合体的未知量，写成 u 3n1
将已知单元结点位移、刚度（影响系数）和结点力放在相应位置上，其余用零充填， 然后叠加
F eT 13n
0T 0T
0T FeT 0T
0T
u eT 13n
0T 0T
0T ueT 0T
0T
e
7 小变形弹-塑性有限元法
弹性体体积为V，以m代表单元数；n表示结点总数。{u}表示系统结点位移
的列阵。
u ux1 uy1 uz1 ux2 uy2 uz2 uxn uyn uzn T
S
上外力
p
用静力等效的原则化到相应的结点上去,结点载荷列阵为:
F Fx1 Fy1 Fz1 Fx2 Fy2 Fz2 Fxn Fyn Fzn T
9
11
2
4
6
8
10
12
(b)
b比a情况可节省存贮单元
（5）[K]是一个奇异阵，在排除刚性位移后，它是正定阵。
m
K
u
m
K
e
u
m
BT
DBtAu
uT K u eT DetA e1
e1
e1
m
只有在每个单元中都有
e 0,
才有eT DetA 0 e1
否则它大于零。整个集合体排除了刚性位移 e 0 即 u 0
p
Re ,Pe ,Qe 分别为集中力、面力、体力移置到单元结点上得
到的等效结点力 均质等厚的三角形单元，重力引起的等效结点力只需把1/3的重量 移置到结点上;作用在长度为的L三角形一个边i,j上强度为p的均布 表面力，只需ptL/2把移置到结点i及j上 ;
线性分布载荷，如在结点i处强度为零，在结点j处强度为p， 则合力大小为ptL/2 ，只需将合力的1/3移置到结点i，2/3移置 到结点j.
1 222 1 2 S
11 33 1 2 S
22 33 1 2 S
1 332 1 2 S
S 2 2 1
3 3G
1112 S
2212 S
3312 S
1
2 12
2S
11 23 S
22 23 S
33 23 S
12 23 S
1
2 23
2S
11 S
31
22 S
r i, j, m; s i, j, m
平面应变 E E (1 2 ); (1 )
K res
E(1 )t
4(1 ) 1 2
A
brbs
1 2 2(1
)
cr cs
1
crbs
1 2 2(1 )
br cs
1
br cs
1 2 2(1
)
crbs
cr cs
1 2 2(1
)
brbs
FF32
F4
已知 : ux1
1, ux2
3
1 0 0 0 ux1
1
0 0 0
K 22 0 K 42
0 1 0
K 24 0 K 44
u y1 u x 2 u y2
F2 F4
K 21 1 3
K 41 1
K
23
3
K 433
●把上式左端已知位移对应的i行i列的交叉刚度系数（i≠j）置 零●，已对知角位线移1,刚对3 度应系的数行（交i叉＝刚j）度置系1，数对乘应位的移载后荷移项至置右已端知与位载移荷；项
d
硬化曲线上:
d dp
T
d d p
1
（2）
弹塑性共存: d de dp d Dde
d D d dp
（3)
T
T
2
d
D
d dp
（1)
T
T
d
p
D
d
D
d
p
T
d
p
Dd
T
D
T
1
dp
Dd
T
D
3
d
D
d
增量理论
d D d ep
由Mises屈服条件(3.17)和Prandtl-Reuss 方程
3 2
ij
ij；
3 11 , 11 2
, 312 , 12
塑性应变增量矢量39页
3 ij
2
等效应变增量
式(3.48)
d
p ij
3 2
d
P
ij
dp
d
p
d
ij
d ij
d
T
ue ux
uy
T
uz
N ue
u e uxi uyi uzi uxm uym
uzm T
e x y z xy yz zx T Bue eT ueT BT
e x y z xy yz zx T DBue S ue
S DB
7.2.1单元刚度矩阵
变分原理中积分看成是不同子域积分的总和,求和的积分＝各 积分求和，故可将变分原理分别用于各个单元
Ku F
此矩阵是单元刚度矩阵扩到 2n 2n后 在同一位置上子矩阵之和。
由于（7.28）中很多位置上子矩阵都为零，（7.30）式不必对全部单元求和
只对分块矩阵 Kres 的下标r=s 或r,s属于同一结点号码的那些单元求和。
其他摆在相应位置上。
[K]具有如下的性质：
1.[K]中每列元素是某一结点在坐标轴方向发生单位位移，其它结点位 移都约束为零时，在所有结点上坐标轴方向需施加的结点力。
1 2
u eT 13n
Ke
3n3n
u
e
3n1
u eT 13n
F
e 3n1
m
e
1
m
ueT
K e ue
m
ueT Fe
e1
2 e1
e1
ueT
m
K
e
ue
m
Fe
0
e1
e1
m
m
K e ue Fe
e1
e1
Ku F
K
m
K
e
m
F Fe
e1
e1
平面应力三角形单元 集合体的结点位移列阵
z2
S
Dep
E
1
•
z r 1 2 S
1 r2 1 2 S
z 1 2 S
r 1 2 S
1 2 1 2 S
z
S
zr
r
S
zr
S
zr
1 2
2 zr
S
1
3 2
z2
r2
2
2
2 zr
2
7.39
7.38
平面应力 [D]ep表达式
33 23 31 0;
11 33 22 33 332
1112 2212 3312
2 12
11 23 22 23 33 23 12 23
2 23
11 31 22 31
33
31
12 31
23
31
2 31
1 1 2
112 S
D
E
ep 1
与加载前应 力水平有关,
与应力增量
无关
•
11 22 1 2 S
带人插值关系
ue
T
Fe
u e
T
N T G NT pt d l N T qt d x d y
Fe ＝N T G N T pt d l N T qt d x d y
＝Re Qe Pe
m
F Fe e1
集合体载 F Re Pe Qe R P Q
荷列阵
Fe (单元等效结点力）
Fje Fxej
Fyej T ,
Fme Fxem
Fe T ym
单元i,j,m上结 点力分块矩阵
m
F Fe 2 n1 e 1
公共边等效节点力抵消
三角形单元
1
i
j
m
n
刚度矩阵
6×6扩充
1
Kiei
Kiej
Kiem
i
K e 2n2n
K
e ji
K
e jj
K
e jm
j
7.28
除对应 i、j、m行,
二次型uT K u 恒大于零 , [K]为正定阵
7.2.3 整体刚度矩阵的修正
置1法: 置0法
K11
K
21
K K
31 41
K12 K 22 K 32 K 42
K13 K 23 K 33 K 43
K14 ux1
K 24 K 34 K 44
u y1 u x 2 u y2
F1
有任意性
K e ue Fe
Fe N T pd s S1
K e BT DBdVe Ve
三维问题
7.17
K e
B T
DBd
xd
yd