最新中考数学几何综合压轴题专题分类训练第1课时　与全等相关的证明和计算1．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．2．四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO.3．已知Rt△OAB中，∠AOB＝90°，扇形OEF中，∠EOF＝30°，且OA＝OB＝OE.将Rt△AOB 的边与扇形OEF的半径OE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形OEF绕点O按顺时针方向旋转，得到扇形OE′F′，设旋转角为α(0°＜α＜180°)．(1)如图2，当0°＜α＜90°，且OF′∥AB时，求α；(2)如图3，当α＝120°时，求证：AF′＝BE′.4．(·唐山路北区模拟)如图，已知，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F分别是CA，CB 边是靠近点C的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△MCN，连接AM，BN.(1)求证：AM＝BN；(2)当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．第2课时　解三角形和三角形相似1．(·北京)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．2．(·白银)如图，已知EC∥AB, ∠EDA＝∠ABF.(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；(2)求证：OA2＝OE·OF.3．(·南充)如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP ＞AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝，那么AB 的长为___．354．(·唐山路北区模拟)如图，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点D 是边AC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，将△AED 沿DE 所在的直线折叠得到△A 1DE.(1)当点A 1落在边BC(含边BC 的端点)上时，折痕DE 的长是多少？(2)连接A 1B ，当点E 在边AB 上移动时，求A 1B 长的最小值．5．(·资阳)E ，F 分别是正方形ABCD 的边DC ，CB 上的点，且DE ＝CF ，以AE 为边作正方形AEHG ，HE 与BC 交于点Q ，连接DF.(1)求证：△ADE ≌△DCF ；(2)若E 是CD 的中点，求证：Q 为CF 的中点；(3)连接AQ ，设S △CEQ ＝S 1，S △AED ＝S 2，S △EAQ ＝S 3，在(2)的条件下，判断S 1＋S 2＝S 3是否成立？并说明理由．6．(·丽水)如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连接C F 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交AD 于点N.(1)当F 为BE 中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若＝＝2，求的值；AB BC EF BF AN ND (3)若＝＝n ，当n 为何值时，MN ∥BE.AB BC EF BF7．(·石家庄模拟)提出问题：(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：A E＝DH；类比探究：(2)如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；综合运用：(3)在(2)问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE＝EC＝2，EO＝2FO，求图中阴影部分的面积．参考答案第1课时　与全等相关的证明和计算1．(·青岛)已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF.又AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)四边形BEDF是平行四边形，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF.∴四边形BEDF是平行四边形．2．(·连云港)四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO.证明：(1)∵BE＝DF，∴BE－EF＝DF－EF，即BF＝DE.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°.又∵AD＝BC，∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL)．(2)连接AC，交BD于O点．∵Rt△ADE≌Rt△CBF，∴AE＝CF.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF.∴四边形AECF为平行四边形．∴AO＝CO.3．(·张家口模拟)已知Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，扇形OEF 中，∠EOF ＝30°，且OA ＝OB ＝OE.将Rt △AOB 的边与扇形OEF 的半径OE 重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形OEF 绕点O 按顺时针方向旋转，得到扇形OE′F′，设旋转角为α(0°＜α＜180°)．(1)如图2，当0°＜α＜90°，且OF′∥AB 时，求α；(2)如图3，当α＝120°时，求证：AF′＝BE′.解：(1)∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠B ＝∠BAO ＝45°.∵OF′∥AB ，∴∠AOF′＝∠BAO ＝45°.又∵∠EOF ＝30°，∴∠E′OF′＝30°.∴α＝∠AOF′－∠E′OF′＝15°.(2)证明：∵α＝120°，∠E′OF′＝∠EOF ＝30°，∴∠AOF′＝α＋∠E′OF′＝150°，∠BOE′＝360°－90°－120°＝150°.∴∠AOF′＝∠BOE′.又易知OA ＝OB ，OF′＝OE′，∴△AOF′≌△BOE′(SAS )．∴AF′＝BE′.4．(·唐山路北区模拟)如图，已知，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，E ，F 分别是CA ，CB 边是靠近点C 的三等分点，将△ECF 绕点C 逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△MCN ，连接AM ，BN.(1)求证：AM ＝BN ；(2)当MA ∥CN 时，试求旋转角α的余弦值．解：(1)证明：∵CA ＝CB ，E 、F 分别是CA 、CB 边上靠近点C 的三等分点，∴CE ＝CF.由旋转知，CM ＝CE ，CN ＝CF ，∠M CN ＝∠E CF ，∴CM ＝CN ，∠MCN －∠ECN ＝∠ECF －∠ECN ，即∠MCA ＝∠NCB.又∵CA ＝CB ，CM ＝CN ，∴△ACM ≌△BCN(SAS )．∴AM ＝BN.(2)∵MA ∥CN ，∴∠AMC ＋∠MCN ＝180°.又∵∠MCN ＝90°，∴∠AMC ＝90°.∴cos α＝＝＝.CM AC CE AC 13第2课时　解三角形和三角形相似1．(·北京)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN.(1)求证：BM ＝MN ；(2)若∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，AC ＝2，求BN 的长．解：(1)证明：在△CAD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点，∴MN ∥AD ，且MN ＝AD.12在Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点，∴BM ＝AC.12又∵AC ＝AD ，∴MN ＝BM.(2)∵∠BAD ＝60°，且AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ＝30°.由(1)知BM ＝AC ＝AM ＝MC.12∴∠BMC ＝∠BAM ＋∠ABM ＝2∠BAM ＝60°.∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°.∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠NMC ＝90°.∴BN 2＝BM 2＋MN 2.由(1)知，MN ＝BM ＝AC ＝×2＝1.1212∴BN ＝.22．(·白银)如图，已知EC ∥AB, ∠EDA ＝∠ABF.(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)求证：OA 2＝OE·OF.证明：(1)∵EC ∥AB ，∴∠C ＝∠ABF.又∵∠EDA ＝∠ABF ，∴∠C ＝∠EDA.∴AD ∥BC.∴四边形ABCD 是平行四边形．(2)∵EC ∥AB ，∴＝.OA OE OB OD 又∵AD ∥BC ，∴＝.OF OA OB OD ∴＝，即OA 2＝OE·OF.OA OE OF OA 3．(·南充)如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP ＞AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝，那么AB 的长为6．35解：(1)有三对相似三角形，即△AMP ∽△BPQ ∽△CQD.(2)设AP ＝x ，由折叠关系可得BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x ，AM ＝1.由△AMP ∽△BPQ ，得＝，即BQ ＝x 2.AM BP AP BQ 由△AMP ∽△CQD ，得＝，即CQ ＝2.AP CD AM CQAD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1.又∵在Rt △FDM 中，sin ∠DMF ＝，35DF ＝DC ＝2x ，∴sin ∠DMF ＝＝＝.DF MD 2x x 2＋135解得x ＝3或x ＝(不合题意，舍去)．13∴AB ＝2x ＝6.4．(·唐山路北区模拟)如图，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点D 是边AC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，将△AED 沿DE 所在的直线折叠得到△A 1DE.(1)当点A 1落在边BC(含边BC 的端点)上时，折痕DE 的长是多少？(2)连接A 1B ，当点E 在边AB 上移动时，求A 1B 长的最小值．解：(1)∵点D 到边BC 的距离是DC ＝DA ＝1，∴点A 1落在边BC 上时，点A 1与点C 重合，如备用图所示．此时，DE 为AC 的垂直平分线，即DE 为△ABC 的中位线，∴DE ＝BC ＝1.12(2)连接BD.在Rt △BCD 中，BD ＝＝.BC 2＋CD 25由△A 1DE ≌△ADE ，可得A 1D ＝AD ＝1.由A 1B ＋A 1D≥BD ，得A 1B≥BD －A 1D ＝－1.5∴A 1B 长的最小值是－1.55．(·资阳)E ，F 分别是正方形ABCD 的边DC ，CB 上的点，且DE ＝CF ，以AE 为边作正方形AEHG ，HE 与BC 交于点Q ，连接DF.(1)求证：△ADE ≌△DCF ；(2)若E 是CD 的中点，求证：Q 为CF 的中点；(3)连接AQ ，设S △CEQ ＝S 1，S △AED ＝S 2，S △EAQ ＝S 3，在(2)的条件下，判断S 1＋S 2＝S 3是否成立？并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°.∵DE ＝CF ，∴△ADE ≌△DCF(SAS )．(2)证明：∵四边形AEHG 是正方形，∴∠AEH ＝90°.∴∠AED ＋∠QEC ＝90°.∵∠ADE ＝90°，∴∠AED ＋∠EAD ＝90°.∴∠QEC ＝∠EAD.∴△ADE ∽△ECQ.∴＝.CQ DE CE AD ∵＝＝，∴＝＝.CE AD DE AD 12CQ DE CQ CF 12∴点Q 是CF 中点．(3)S 1＋S 2＝S 3成立．理由：∵△ADE ∽△ECQ ，∴＝.CQ DE QE AE 又∵DE ＝CE ，∴＝.CQ CE QE AE∵∠C ＝∠AEQ ＝90°，∴△AEQ ∽△ECQ.∴△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE.∴＝()2，＝()2.S 1S 3EQ AQ S 2S 3AE AQ ∴＋＝()2＋()2＝.S 1S 3S 2S 3EQ AQ AE AQ EQ 2＋AE 2AQ2由勾股定理得EQ 2＋AE 2＝AQ 2，∴＋＝1，即S 1＋S 2＝S 3.S 1S 3S 2S36．(·丽水)如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连接C F并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交AD 于点N.(1)当F 为BE 中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若＝＝2，求的值；AB BC EF BF AN ND (3)若＝＝n ，当n 为何值时，MN ∥BE.AB BC EF BF解：(1)证明：∵F 为BE 中点，∴BF ＝EF.∵在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠MBF ＝∠CEF ，∠BMF ＝∠ECF.∴△BMF ≌△ECF(AAS )．∴MB ＝CE.∵AB ＝CD ，CE ＝DE ，∴MB ＝AM.∴AM ＝C E.(2)设MB ＝a ，∵AB ∥CD ，∴△BMF ∽△ECF.∴＝＝2.∴CE ＝2a.EF BF CE MB∴AB ＝CD ＝2CE ＝4a ，AM ＝AB －MB ＝3a.∵＝2，∴BC ＝AD ＝2a.AB BC∵MN ⊥MC ，∠A ＝∠ABC ＝90°，∴∠AMN ＋∠BMC ＝90°.又∵∠AMN ＋∠ANM ＝90°，∴∠BMC ＝∠ANM.∴△AMN ∽△BCM.∴＝，即＝.AN MB AM BC AN a 3a 2a ∴AN ＝a ，ND ＝AD －AN ＝ a.3212∴＝＝3.AN ND 32a 12a (3)设MB ＝a ，∵＝n ，且△MBF ∽△CEF ，EF BF ∴＝.CE MB EF BF∴CE ＝na ，AB ＝CD ＝2na.∵＝n ，∴BC ＝2a.AB BC如图，当MN ∥BE 时，CM ⊥BE.∵∠BMC ＋∠BCM ＝90°，∠EBC ＋∠BCM ＝90°，∴∠BCM ＝∠EBC.∴△MBC ∽△BCE.∴＝，即＝.MB BC BC CE a BC BC na∴BC ＝ a.n 又∵BC ＝2a ，∴a ＝2a.解得n ＝4.n ∴当n ＝4时，MN ∥BE.7．(·石家庄模拟)提出问题：(1)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，H 分别在BC ，AB 上，若AE ⊥DH 于点O ，求证：A E ＝DH ；类比探究：(2)如图2，在正方形ABCD 中，点H ，E ，G ，F 分别在AB ，BC ，CD ，DA 上，若EF ⊥HG 于点O ，探究线段EF 与HG 的数量关系，并说明理由；综合运用：(3)在(2)问条件下，HF ∥GE ，如图3所示，已知BE ＝EC ＝2，EO ＝2FO ，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝DA ，∠ABE ＝90°＝∠DAH.∴∠HAO ＋∠O AD ＝90°.∵AE ⊥DH ，∴∠ADO ＋∠OAD ＝90°.∴∠HAO ＝∠ADO.∴△ABE ≌△DAH(ASA )．∴AE ＝DH.(2)EF ＝GH.理由：将FE 平移到AM 处，则AM ∥EF ，AM ＝EF.将GH 平移到DN 处，则DN ∥GH ，DN ＝GH.∵EF ⊥GH ，∴AM ⊥DN.根据(1)的结论得AM ＝DN ，∴EF ＝GH.(3)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD.∴∠AHO ＝∠CGO.∵FH ∥EG ，∴∠FHO ＝∠EGO.∴∠AHF ＝∠CGE.∴△AHF ∽△CGE.∴＝＝＝.AF CE FH EG FO OE 12又∵EC ＝2，∴AF ＝1.过点F 作FP ⊥BC 于点P ，根据勾股定理得EF ＝.17∵FH ∥EG ，∴＝.FO FE HO HG根据(2)知EF ＝GH ，∴FO ＝HO.∴S △FOH ＝FO 2＝×(EF)2＝，1212131718S △EOG ＝EO 2＝×(EF)2＝.121223681817 1868188518∴阴影部分面积为＋＝.。