2
24
2 4
所以它表示以 1 为中心、以 为半径
2
4
的邻域。用区间符号表示为：
1 ， 1
2 4 2 4
8
布置作业
必作题：无 选作题：无 思考题：实数系的演变过程是怎样的？
9
§3 变量无限变化的数学模型——极 限
3.1数列极限（概念）
以正整数为自变量的函数 y f (n)，当n依次 取 1,2,3, 所得到的一列函数值 ai f（i）,i 1，2，3 ，
第一章 微积分的基础问题
——集合、实数、极限
1
教学目标：本章的目标是介绍集合、实数和极限。要 求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。了解我 国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。 教学重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻 域的概念。 教学难点：极限概念及其在微积分中的作用、邻域的 概念。 教学时数：6学时。
x
2 x
2
18
4.函数极限的性质
定理：如果x x0函数f x的极限值是正（负） 数，则在点x0的某一去心邻域内，函数值f x也 是正（负）数。即若lim f x A 0( 0),则存
x x0
在点x0的某邻域U x0 ，对一切x U x0 恒有 f x 0( 0).
19
证明：由于f x A 0, (x x0 ),所以由“ ”
恒成立，则称数列 an 以a为极限，记作：
lim
n
an
a, 或an
a(n
).
13
例
证明：lim n
1 2n
0.
证明：设为任意小的正数
（不妨设 1）求N：
，由
1 2n
0
1 2n
2n 1 ,即n lg .
lg 2
取 N lg , 由前面的推导过程可知，则当 n>N lg 2
时，就有
1 2n
2
教学内容： §1 极限、实数与集合在微积分中的作 用 §2 实数系的建立及邻域的概念 §3 变量无限变化的数学模型——极限 数学家启示录
（一）数学之神——阿基米德 （二）我国古代伟大数学家——祖冲之
3
§1 极限、实数与集合在微积分中的作用

微 积 分
x
x0
。
证明：对任意给定的 0 ，要使 f x A x x0
成立，只需取 ，显然当 0 x x0 时，
f x A x x0 恒成立，所以原式成立。
2.左极限和右极限（不作为讲解内容）
17
3.自变量的绝对值无限增大时的情形
对于函数y f (x)而言,当 x 无限增大时，
于任意正数 （不管它有多小），总存
在相应的正数 ，使得满足 0 x x0 x 的一切 能使 f (x) A 恒成立，则
称函数 f (x)当 x x0 时以A极限，记作：
lim
xx0
f
(x)
A或f
(x)
A(x
x0 )
，该定
义又称为“ ” 定义。
16
例：证明：lim xx0
称为无穷数列 ，简称数列。数列中的各个数
称为数列的项，
称为数列的通项。数
列常简记为 。an f (n)
an
10
1.数列极限的定性描述
定义1：如果n无限增大时，数列an 的
同项 an 无限趋近于常数a，则称该数列
以a为极限，记作
lim
n
an
a或an
an
.
其中 n 表示n无限增大，此时也称为
该数列收敛；如果 n 时，不以任何常
数为极限，则称数列 an 发散。
11
无穷小量：以零为极限的变量称为无穷 小 绝量对。值 无21n 就限是变n 大的时变的无量穷称小为量。无 穷大量。 常数列的极限仍是该常数。
12
2.数列极限的定量描述
定义2：如果对于任意正数 （无论它有
多小），总存在相应的正整数N，使得满
足n>N的一切n，能使不等式 an a
从左到右，左边的理论为右边理论的基础。
4
布置作业
必作题：无 选作题：无 思考题：推动微积分不断向前发展的因 素有哪些？哪些数学家对微积分的完善 与发展做出了重大贡献，各自的成就有 哪些？
5
§2 实数系的建立及邻域的概 念
§2.1实数系的演变及性质
自 然 数 （1） 集
整 数 集
（2）
有 理 数 集
为邻域的中心， 称为邻域的半径。这一
邻域可用集合符号表示为 x x x0 。
如果点 x0 的 邻域 U x0, 不包括点 x0 ，
则称为点 x0 的去心邻域。
7
例题：用邻域符号和区间符号分别表示不
等式 2x 1 0 所确定的x 的范围。
解：由2x 1
2
得x
1
,即 x
1〈
。
定义可知，若限定任意正数 A,则存在相应的，
使得当0 x x0 时，f x A A( )恒成立， 即0 A A f x A A成立，不等式的左半部分
正是所要证明的。
定理：非负函数的极限 非负。即如果 f x 0, 且 lim f x A, 那么A 0.
x x0
20
证明：（反证法）
（3）
实 数 集
（1）是为了使在自然数范围内减法运算也封闭。 （2）是为了使在整数范围内除法运算也封闭。 （3）数轴上除了有理点之外的成为无理数，合称为实数。
有理数集稠密，但不连续；实数集则连续。
6
§2.2刻画极限的邻域概念
与点x0 的距离小于 0 的全体实数的
集合称为点 x0 的邻域。记作：U x0,x0 ，称
函数f (x) 1 的绝对值无限变小，可见 x
当x ,即x 或x 时，该函数
以常数A 0为极限，记作：lim 1 0.当x x x
0或x 0时，函数f (x)的极限分别记作
lim f (x)或 lim f (x).
x
x
例如：lim arctanx , lim arctanx .
设A 0不成立，即A 0.由以前所学定理可知，在
x0的某邻域内f x 0.这与f x 0的假设矛盾，故
假设不不成立，原命题成立。
推论：若 f x gx，且当x x0时，f x A,
0
恒成立, 得证。
14
3.数列极限中蕴含的辨证思想
极限的取得是变化过程与变化结果的对 立统一。 极限是有限与无限的对立统一。 极限的取得体现了近似与精确的对立统 一。
15
3.2函数极限
x x 1.自变量 无限趋进于有限数 0 的情形 x 定义1：设函数y f (x) 在点 0 的近旁有定
x 义（在点 0 处可以无定义）。如果对