八年级第二学期数学
第二十一章《代数方程》
复 习
一元方程 整式方程
字母方程 二项方程
代 数 方 程
有理方程
二元二次方程组
分式方程 无理方程 列方程（组）解应用题
化归思想
分式化整式； 化整式的方法：去分母，换元 无理化有理；
化有理方程的方法：两边平方法
二元化一元： 代入消元 ，因式分解
下列方程中，哪些是二项方程？
3y 2 √ ( 4) 2 x x 2
x5 y (5) × 3x y 1
不解方程，判断下列方程有没有实数解？
(1)
(3)
1 20 5x 2
无
(2)
无 无
3 x 2 7无
2Байду номын сангаас
x 1 2 x 0
(4)
x 3 2 x 1
结束
无理方程有理化
体现的数学思想：化归思想
6、有关增根的问题
增根产生的原因：
在解分式方程或无理方程时，将方程转化成整式方程或 有理方程时，扩大了未知数的取值范围，从而产生了增根
如何检验是否增根
将解分式方程转化成整式方程的根代入最简公分母，若使 最简公分母为零的根为原方程的增根，否则为原方程的根 将解无理方程转化成有理方程的根代入原方程的左右两边， 若使方程左右两边的值不相等的根为增根，否则为方程的根
（2）已知某工程由甲、乙两队合作12天可以完成， 乙队单独完成这项工程所需的时间是甲队单独完 成这项工程所需时间的2倍少10天，求甲、乙两 队单独完成这项工程分别需要多少天？
（3）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独
修建比乙工程队单独修建多用10天，甲工程
队每天比乙工程队少修建6米，求甲、乙两个 工程队每天各修建多少米？
2) x 16 ( 1) 2 x 16 0 ( √ √
3
4
( 3) x x ×
5
(√ 4) 7 x 1
2
3
解方程：
(1) 2(1 x) 54 0
1 4 (2) 8 ( x 2) 0 2
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是无理方程？
(1)
x3

1
x (2) －1 0 x－ 2 3 －1
n
1 4 1 2 y－2 4－y
3、分式方程的解法
解分式方程的基本思路是：
通过“去分母”将分式方程转化为整式方程 舍去 解分式方程的一般步骤： 分式方程 同乘以最简公分母
使最简公分母为零
整式方程 写出方程的根
检验
使最简公分母不为零
去分母的关键是确定最简公分母，
在转化过程中要注意不要漏乘，不忘检验。
4、用换元法解分式方程
平方关系或倒数关系
解方程：
5x x (1) 6 0 x 1 x 1
2
3x x 1 7 (2) 2 x 1 x 2
2
5、无理方程的解法
解无理方程的一般步骤：
x 5－ 2x－ 7 2
检验
是
不是
开始
去根号
解有理方程
舍去
写出原方程的根 具体方法:平方法
x
2
x ( 4 ) (3) 3 x 1
分式方程： （ 2）
1 2 3 x
无理方程： （3）、（4）
下列方程组中哪些属于二元二次方程组？
x 1 (1) 2 √ y 4
2
×
2 3 y 5y (2) x y 1
×
1 2 x 20 (3) y xy y 18
(5)
x －x 有
无
3 ( 6) 2 2 无 (7 ) x 1
x 3 2 x
1、字母系数方程的讨论
解方程：bx 1 1 x
2
2
(b 1)
2、特殊高次方程的解法
一般地,二项方程 ax b 0(a 0, b 0, n是正整数)
n
b ,转化为求一个数的n次方根 可转化为 x a
（4）有一市政建设工程，若由甲、乙两工程队合做，要 12个月完成；若甲队先做5个月，余下部分再由甲、 乙两队合做，还要9个月才能完成，求甲、乙两工程 队单独完成此项工程各需要多少个月？
因式分解法（降次）
2 2 x 9 y 0 2 2 x 2 xy y 4
8、列方程（组）解应用题
审题 设元
找等量 列方程 关系
解方程
检验 作答
①检验是否是所列方程的解
②检验是否符合实际意义
增长率问题，工程问题，行程问题……
（1）有两张正方形纸片，较大的纸片的面积比较 小的纸片面积大28平方厘米，较大纸片的边长 比较小纸片的边长大2厘米，试求这两张纸片 的面积。
7、二元二次方程（组）
xy 6 x 2 y 5 x y 13 (3) (2) 2 (1) 2 x y 5 y x 1 x y 2 xy 1 0
2 2
二·一型二元二次方程组
代入消元法
二·二型二元二次方程组
2 2 x y 5 2 2 x 3 xy 2 y 0