微积分初步一、微积分的基本概念1、极限极限指无限趋近于一个固定的数值两个常见的极限公式0sin lim 1x x x→= *1lim 11x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭2、导数当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。
0'lim x dy y y dx x∆→∆==∆ 导数含义,简单来说就是y 随x 变化的变化率。
导数的几何意义是该点切线的斜率。
3、原函数和导函数对原函数上每点都求出导数,作为新函数的函数值,这个新的函数就是导函数。
00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆ 4、微分和积分由原函数求导函数:微分由导函数求原函数:积分微分和积分互为逆运算。
例1、根据导函数的定义,推导下列函数的导函数(1)2y x = (2) (0)n y x n =≠ (3)sin y x =二、微分1、基本的求导公式(1)()'0 ()C C =为常数 (2)()1' (0)n n x nx n -=≠(3)()'x x e e = *(4)()'ln x x a a a =(5)()1ln 'x x = *(6)()1log 'ln a x x a=(7)()sin 'cos x x = (8)()cos 'sin x x =-(9)()21tan 'cos x x = (10)()21cot 'sin x x= **(11)()arcsin 'x =**(12)()arccos 'x = **(13)()21arctan '1x x =+ **(14)()21arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则设u =u (x ),v =v (x )(1)()'''u v u v ±=±(2)()'''uv u v uv =+(3)2'''u u v uv v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭例2、求y=tan x 的导数3、复合函数求导对于函数y =f (x ),可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)],即y=f (u ),u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx== 即:'''u x y y u =例3、求28(12)y x =+的导数例4、求ln tan y x =的导数三、积分1、基本的不定积分公式下列各式中C 为积分常数(1) ()kdx kx C k =+⎰为常数 (2)1(1)1n nx x dx C n n +=+≠-+⎰(3)x x e dx e C =+⎰ *(4)ln xxa a dx C a =+⎰ (5)1ln dx x C x =+⎰ (6)sin cos xdx x C =-+⎰(7)cos sin xdx x C =+⎰ *(8)21tan cos dx x C x =+⎰ **(9)21arctan 1dx x C x =++⎰ **(10)arcsin x C =+⎰ 2、简单的定积分求法(即牛顿—莱布尼茨公式)物理竞赛中最基本的微积分公式牛顿—莱布尼茨公式:若f (x )是F (x )在区间[a, b ]上的导函数, 则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰而根据导函数f (x )求原函数F (x )的过程,其实就是不定积分的过程。
3、换元积分法(1)第一类换元积分(凑微法)例5、求22cos x x dx ⎰** (2)第二类换元积分法技巧性较强,没有一定的通法,高中阶段很少用到。
**例6、6552236616(1)1t x t dx t dt t dt t t dt t t t ====-+-++⎰⎰⎰即物理例题:例7、已知地球的半径为R ,质量为M 。
将质量为m 的质点从地面移动到无穷远处,此过程中,万有引力做了多少功?例8、求半径为R,质量均匀的半圆形薄板的重心位置例9、求常见几何体的转动惯量。
各物体质量均为m,杆长均为L,半径均为r(1)均匀杆绕中点转动(2)均匀杆绕一端转动(3)均匀圆盘绕中心转动*(4)均匀球绕中轴转动5.2附 微积分阅读材料**一、求极限的罗必塔法则()()()()()0lim ()0x a x x a x f x F x f x F x →→∞→→∞∞∞如果当或时,两个函数与都趋于零或都趋于无穷大,那么极限可能存在、也可能不存在。
通常把这种极限称为或型未定式。
此时可以对分子分母同时求导后再求极限,从而避免出现未定式无法计算的情况。
如果求导后仍然是未定式,可多次利用罗必塔法则。
如果始终是未定式,则此方法失效。
例1: 例2:***二、分部积分法理解、运用起来容易出错,高中阶段很少用到。
根据函数相乘的求导公式:()'''uv u v uv =+移项可得:()'''uv uv u v =-两边取积分:uv dx uv vu dx ''=-⎰⎰ udv uv vdu =-⎰⎰***例3、求cos x xdx ⎰,cos ,sin cos sin sin sin cos u x dv xdx du dx v x x xdxx x xdx x x x C =====-=++⎰⎰取则 .)(')('lim )()(lim )( )( x g x f x g x f x a x x a x ∞→→∞→→=.tan lim 0xx x →求)()(tan lim 0''=→x x x 原式1sec lim 20x x →=.1=00.sin ln sin ln lim 0bx ax x →求ax bx b bx ax a x sin cos sin cos lim 0⋅⋅=→原式.1=∞∞ax bx x cos cos lim 0→=的形式或型未定式,可以化为∞∞∞∞-∞∞⋅∞00,1,0,,000***例4、求2x x e dx ⎰2,222,,2,22 22 22x x x x u x dv e dx x x xdu xdx v eu x dv e dx x x x du dx v e x x x x e dx x e xe dx x e xe e dxx e xe e C=========-=-+=-++⎰⎰⎰取则取则 利用分部积分法的步骤:(1)将被积函数分为两部分,一部分可以看做是原函数,即u ,另一部分可以看做是导函数,即v’。
(2)右边第一项为两个原函数uv 的乘积,第二项将原函数u 变为导函数u’,导函数v’变为原函数v ,相乘后再求积分。
利用分部积分法的技巧:上述过程的难点在于对v’求积分,以及对u’v 求积分。
因此,要将被积函数拆成适当的两部分,使得这两个积分求解起来都比较容易。
三、简单的常微分方程(分离变量法)***例5:放射性元素衰变问题设铀的衰变速度与未衰变的原子数目M 成正比已知t =0时未衰变的铀的含量为M 0,求M 随时间变化的函数。
解: 变量为M 和t ,分离变量得:两边分别求不定积分: 根据初始状态求出积分常数C : 带入后消去C 可得:***例6:电容器充放电问题电容为C 的电容经过充电后,两端电压为U 0。
从t =0时刻开始串联上电阻R 进行放电。
求电压U 随时间t 的变化函数。
解: 联立上面两式可得: 分离变量可得: M dtdM λ-=dt MdM λ-=Ct M +-=λln CM =0ln te M M λ-=0dtdU C dt dQ i -=-=RU i =dtdU C R U -=RCdt U dU -=两边分别求不定积分:根据初始状态求出积分常数C 0: 带入后消去C 0可得:可以看到,RC 的值与电容器放电的快慢有关,因此RC 也叫做RC 电路的时间常数。
类似的,RL 电路中,时间常数为L /R 。
此外,求解简谐运动和电磁振荡问题时也需要求解微分方程,不过采用的方法是试探解法。
***四、泰勒展开将一个函数写成多项式的形式各项分别为零阶小量、一阶小量、二阶小量……常用于近似处理和对小量的讨论。
理解公式前两项的几何意义。
公式最后一项)(nx o ∆表示剩下所有的项,相对于n x ∆都是小量。
常见函数在x 0=0处的泰勒展开:不是所有的函数不是在所有的位置都可以进行泰勒展开。
只有当高阶项越来越小且趋近于0时(此说法不严格)才能用泰勒展开的前几项之和来近似原函数的值。
)(!)(!2)()()()(0)(20000n n n x o x n x f x x f x x f x f x x f ∆+∆+⋯⋯+∆''+∆'+=∆+2135722(1)* sin ()3!5!7!(21)!k k k x x x x x x o x k ++-=-+-++++246221(1)* cos 1().2!4!6!(2)!k k k x x x x x o x k +-=-+-+++2341(1)*** ln(1)().234n n n x x x x x x o x n --+=-+-+++.)(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--++-++=+μμμμμμμ 231** 1(1)().1n n n x x x x o x x =-+-++-++2*** 1().2!!n x n x x e x o x n =+++++0ln C RC t U +-=00ln C U =RC t e U U -=0。