湖北汽车工业学院
[2010-2011-1] 2010 级 ·高数6班
高等数学 第五章
严钦容的网络课堂
2 定积分的定义
[定积分的几何意义]
假设: f ( x) 在 [a,b] 上连续
① f (x) 0
b
a
f
lim
0
i 1
f
(i )
xi
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[关于定义的说明]
◎
关于定积分的记号
b
a
f
(
x)
dx
f (x)
f (x)d x x
a ,b
[a, b]
n
f (i ) xi
i 1
被积函数 被积表达式 积分变量 积分下限，积分上限 积分区间 积分和
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2. 定积分的定义
[定义] 设 f ( x) 在闭区间[a,b] 上有界.
分割 a x0 x1 x2 xn1 xn b, xi xi xi1,
作和
n
i [ xi1, xi ] , f (i ) xi
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y
y f (x)
xa
xb
O
a x1
x b xi1 xi xn1
直观地发现 小矩形越多 小矩形面积之和越接近曲边梯形面积
1 问题的背景
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解决问题的思路
把整段时间分割成若干小段 每小段上速度看作不变,先局部近似,再整体近似 对时间区间无限细分,求极限
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◇ 变速直线运动的路程
一物体作直线运动,速度为v v(t). 假设: (1) v(t) 0 ; (2) v(t) 在时间区间[T1,T2] 上连续. 求该物体在时间段[T1,T2 ]内经过的路程.
i 1
n
取极限
m1iaxn {xi },lim0 i1f(i)xi .
如果
不论对[a, b] 怎样的分法,
不论i 在 [ xi1, xi ] 上怎样的
此 取法,
极
限存在,
则称函数 f (x) 在[a,b] 上可积 , 且称此极限为f ( x) 在区间[a,b] 上
的定积分.
n
b
a
f
(x)d x
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高等数学 ·第五章
定积分
1. 背景例子 2. 定积分的定义 3. 定积分的性质 4. 变上限函数 5. 微积分基本定理 6. 定积分的换元积分法 7. 定积分的分部积分法 8. Waliss公式 9. 广义积分 10. 典型例题回顾
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b
a
f
(x)
dx
n
lim
0 i1
f (i ) xi
2 定积分的定义
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[关于定义的说明]
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2 定积分的定义
◎
关于定积分的记号
b
a
f
(
x)
dx
◎ 定积分只与被积函数和积分区间有关,与积分变量无关
b
a
1 问题的背景
分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 , ti ti ti1
近似
i [ti1, ti ]，
n
n
s si v( i ) ti
i 1
i 1
取极限
max{t
1 i n
i
}
,
n
s
lim
0
v( i
i 1
)
ti
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xb
取极限 m1ianx{xi } 0
O a x1
曲边梯形面积
n
A
lim
0 i1
f (i )xi
x b xi1 i xi xn1
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1 问题的背景
◇ 变速直线运动的路程
一物体作直线运动,速度为v v(t). 假设: (1) v(t) 0 ; (2) v(t) 在时间区间[T1,T2] 上连续. 求该物体在时间段[T1,T2 ]内经过的路程.
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[关于函数可积的条件]
2 定积分的定义
◎ 可积的必要条件: f ( x) 在 [a,b] 上有界. ◎ 可积的充分条件
定理1 定理2
f ( x) 在[a,b] 上连续 f ( x) 在[a,b] 上可积. f ( x) 在[a,b] 上有界,且在[a,b] 上只有有限个间断点 f ( x) 在[a,b] 上可积.
f
( x)dx
b
a
f
(t )dt
b
a
f
(u)du
◎ 0 与n 的关系
◎ 两个规定:
a
a
f
(
x ) dx
0
,
b
a
f
( x)dx
a b
f
(
x ) dx
◎ 前面的两个例子:
曲边梯形的面积
变速运动的路程
A
n
lim
0 i1
f
(i )xi
b
a
f
( x)dx
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)
ti
T2 T1
v(t )d t
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[总结与思考] 两个问题的共同特征
几何问题 曲边梯形的面积
物理问题 变速运动的路程
n
A
lim
0 i1
f
(i
)xi
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)
ti
1 问题的背景
◎ 都取决于一个函数和一个区间 ◎ 思想、方法、步骤相同 ◎ 数学模型（即所得结果的数学表达式）相同
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1. 问题的背景
◇ 曲边梯形的面积
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计算任意图形D 的面积 矩形 / 曲边三角形 / 曲边梯形
曲边梯形的数学描述
连续曲线：y f ( x) 0
直线：x a, x b
x 轴：y 0
问题 怎样计算曲边梯形的面积?
y
y f (x)
Oa
A?
bx
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1 问题的背景
◇ 曲边梯形的面积
分割 近似
在[a,b]内任意取n 1 个分点:
a x0 x1 x2 xn1 xn b
y
i [ xi1, xi ]，
xi xi xi1
n
n
A Ai f (i )xi
xa
i 1
i 1
面积对区间分割 具有可加性
y f (x)