Lt
t
estdt
0
1 t dest s 0
1stest
0
0estdt
1s 1s est
0
1 s2
n2
Lt22 sLt2 ss12s23
n3
Lt33 sLt23 ss23s64 LL
所以
L
t n
n! s n1
9
四．一些常用函数的拉氏变换
5．正余弦信号
L [sin ( 0t)u (t)]
L
1
t
(σσ0)
换
收敛轴
jω
收敛区
的
收
收敛坐标
敛
σ0 O
σ
域
6
例 信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标0)
( 1 ) f( t)( t)
(2 f( t) ) U ( t)
( 3 )f( t) co 0 tU ( s t) (4 f( t) ) e a U t ( t)a 0
解: (1) lim (t)eσt 0 t
4
5.1 拉普拉斯变换
F(s)Lf(t) f(t)estdt
f(t)L1 f(t) 1 σjF(s)estds
2πj σj
正变换 反变换
记作 f(t)F(s)， f(t)称为原函数，F(s)称为象函数
考虑到实际信号都是有起因信号
所以
F() f(t)ejωtdt 0
采用 0 系统，相应的单边拉氏变换为
F { f( t) e t} f( t) e te j td t f( t) e ( j )tdt
它是 +j的函数，可以写为
F( j )f(t)e(j)tdt
F( +j)的傅里叶反变换为
f( t) e t F 1 { F ( j) } 1 F ( j) e j td 2
第5章 连续时间LTI系统的复频域分析
§5.1 拉普拉斯变换 §5.2 拉普拉斯变换的基本性质 §5.3 拉普拉斯逆变换 §5.4 连续时间LTI系统的复频域分析 §5.5 连续时间LTI系统 §5.6 系统方框图和信号流图 §5.7 连续时间LTI系统的稳定性 §5.8 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
2
j
( e j 0t
e -j 0t )u (t )
11
1
(
)
2 j s j 0 s j 0
0
s
2
2 0
•收敛域 Re[s]>0
L [co s( 0t)u (t)]
L
1 2
(e
j 0t
e -j 0t ) u
(
t
)
11
1
(
)
2 s j 0 s j 0
s
s2
2 0
•收敛域
Re[s]>0
F(s) L f (t)
0
f (t)estdt
f(t) L1 f(t)
1
σjF(s)estds
2πj σj
5
5.1 拉普拉斯变换
•收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。
三
•记为：ROC(region of convergence)
拉
•实际上就是拉氏变换存在的条件；
氏 变
lim f(t)eσt 0
到一个新的时间函数 f (t)e–t，使其满足条件
limf(t)et 0
t
则函数 f (t)e–t 即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存 在。可见因子e–t 起着使函数 f (t)收敛的作用办法，故称e–t为收敛因 子。
2
5.1 拉普拉斯变换
设函数 f (t)e–t 满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰当 的值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有
10
四．一些常用函数的拉氏变换
6．衰减的正余弦信号
L[e t sin ( 0t)u (t)]
L
1 2j
(e (
j 0 )t
e ( j 0 )t )u
(
t
)
1( 1
1
)
2 j s j 0 s j 0
(s
0 )2
02
•收敛域 Res][>-Fra bibliotekL[e t cos( 0t)u (t)]
t
t
要使该式成立，必须有a+ > 0， 即 > – a。故其收敛域为 – a以
右的开平面， 0= – a。
7
四．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
Lu(t)01estdt1s
e st
0
1 s
(σ 0)
2.指数函数
Leαt0eαtestdte(α(
α
s
)t
s
)
1 s α
0
(σ α)
3.单位冲激信号
要使该式成立，必须有 > – ， 故其收敛域为全s平面， 0= – 。
(2) lim U(t)eσt 0 t
>0时该式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
(3) lt ic mo0 st)( eσt 0
>0时上式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
(4 ) lie m a te σ t lie m (a )t 0
L
1 2
( e ( j 0 )t
e
(
j
0
)
t
)
u
(
t
)
1( 1
1)
2 s j 0 s j 0
s
(s
)2
2 0
•收敛域 Res][>-
11
5.2 拉普拉斯变换的基本性质
线性性质 延时特性 尺度变换特性 复频移特性 时域微分定理 时域积分定理 频域微积分定理 初值定理和终值定理 卷积定理
1
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即
F ( j) f( t) e j tdt
f( t) 1 F ( j) e j td 2
当函数 f (t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存在。
此时，可采取给f(t)乘以因子e–t(为任意实常数)的办法，这样即得
12
一．线性性质
若 Lf1(t)F 1(s), Lf2(t)F 2(s),K 1,K 2为常数 则 LK 1f1(t)K 2f2(t)K 1F 1(s)K 2F 2(s)
即
f(t)21 F(j)e(j)td
F(s) f(t)estdt
f(t) 1 jF(s)estds
2j j
3
5.1 拉普拉斯变换 二．拉普拉斯变换的定义
F(s) f(t)estdt
f(t) 1 jF(s)estds
2j j
s= +j，s为一复数变量，称为复频率。
以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。
L(t)(t)estdt1 全 s 域平面收敛 0
L(t t0 )0 (t t0 )e std t e st0
8
四．一些常用函数的拉氏变换
4．幂函数 t nu(t)
Ltn
tnestdt
0
t n e st
s
0
n s
tn1 estdt
0
n t n1 estdt
s0
所
n
以
1
Ltn ns Ltn1