风险厌恶、风险中性与风险偏好 的数学表述
伯努利（Bernoulli）效用函数（确定值） Von-Neumann -Morgenstern预期效用函数 “预期”有“期望”之义，随机变量的数学 期望 例2.1。Page 46

E (u( x)) u( F ) u( x)dF( x)
假设绝对风险厌恶系数不随W增加而增加 对r＞0和r＜0，都可得到 （2.20a） 从（2.17）得（2.21） E[~ r u' ' (W a~ r )] 0

u是凹函数，得（2.21a） E[~ r 2 u' ' (W a~ r )] 0

最后
da* 0 dW
2 ~ ~ ~ E(w w) 0, E(w w) Var(w)

资产风险度量的一般方法
Rothschild—Stiglitz更一般的比较不同资产风 险的分析框架 比较资产收益的分布，而不比较不同投资人 所依赖的不同的效用函数。 一阶随机占优、二阶随机占优以及均值不变 下的分布扩展MPS 假设有两种资产A和B。A收益服从分布F（· ）， B服从G（· ），且F（1）=G（1）=1，（方便起 见，令收益均属于区间[0，1]）。

相对风险厌恶与风险溢价
~ ~ 假设：X E( X )(1 ) X (1 ) ~ ˆ )) E(u( X )) E(u( X )(1 )) u( X (1

Pratt(1964)定义相对风险厌恶系数
X u ( X ) RRA u ( X )

绝对风险厌恶与风险溢价
对风险厌恶程度有大有小，绝对风险厌恶， 风险溢价ρ，对风险的补偿，数学定义如下

~ ~ u ( X ) u ( E ( X ) ) E (u ( X ))

2 ( X ) u
2u ( X )
,
~ X E( X )

Pratt(1964)定义绝对风险厌恶系数 u( X ) 2 ra ( X ) 2 u( X ) 绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需 给予的溢价补偿也越大

第一章
第二节 随机占优
怎样才能认为资产A比资产B更具风险？ 简化的风险比较：均值-方差 效用 用方差作为唯一标准不可行（期望可能越大） 即使一种资产X预期收益等于另一资产Y，而X 方差小于Y，风险厌恶者也不一定偏好于X 如下面的例子

0, 概率1 / 2 X 4, 概率1 / 2
第二章风险、风险厌恶与随机占优
资产定价理论的微观经济基础
经济理论通常假定：投资人是风险厌恶的 风险有多种定义，不确定性 从定量模型化解释风险 投资人面临风险的决策（第一节） Rothschild和Stiglitz提出随机占优（第二节）

第二章
第一节 风险与风险偏好
对风险的一般认识： 经济系统中状态变量的事前不确定性 对风险的厌恶引发投资人的投资组合的分散化 问题以及对所需交换的资产的合理定价问题 金融经济学框架的核心问题： 如何分散风险 如何确定风险的合理价格
~ rB ~ rA , E ( ~ rA ) 0
“d”表示“依分布相等” 引入“展形spread”的概念

均值不变下的分布展形MPS
mean preserving spreads——MSP 讨论限定于两种资产相同的预期收益 图形表示 命题2-2 命题2-3 G是F的MPS，等价于F，SSD，G
u( E ( x)) u[ xdF( x)], 表示确定收益
风险厌恶的数学定义
E (u ( x)) u ( x)dF ( x) u( E ( x)) u( xdF ( x))
如果F(x)是二项分布，则， 风险厌恶——伯努利效用函数为凹函数 严格风险厌恶——严格不等式，u’>0，u’’<0 定理2.1：对任意F，有 风险厌恶——效用函数为严格凹函数 证明需要使用Jensen不等式。 同样：可以定义风险中性和风险偏好
Jensen’s inequality 证明
u 0 , E(u( x)) u( E( x))
u是凹函数 证明过程：在均值点泰勒展开

风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着 总财富的上升而增加 关于绝对风险厌恶系数不随W增加而增加 经过推导可知，要求三阶导数为正数 度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险 决策的态度。 在资产定价理论中，一般假定存在一个典型性 投资人。需要处理典型投资人对不同资产的风 险与收益的判断，即资产风险的度量问题。
均值—方差效用不完整性说明

只考虑均值和方差，没有考虑更高阶中心矩。 只有当包括三阶矩以上为0时，均值方差效用 才与真实的预期效用一致。 1 2 ~ ~ ~ u ( w) u ( w) u ( w)(w w) u ( w)(w w) R3 2 1 (n) ~ w) n R3 n 3 u ( w)(w n! 两端取期望（w是期望值，数值），利用

一阶随机占优 FSD
First-order Stochastic Dominance FSD定义：对任意非减的函数u：R→R，

u( x)dF( x) u( x)dG( x)
则，A B
FSD

定理2.1是FSD的等价条件。注意不等号方向FBiblioteka ( x) G ( x) A B
2 ( X ) X u 1 2 ˆ RRA , 2u ( X ) 2

相对风险厌恶系数越大，所要求的单位 方差的相对风险溢价补偿也越高
风险溢价和风险厌恶对投资人 决策影响的实例说明
例2.2。当前财富为W=a+(W－a) 今后财富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，优化问题

1, 概率7 / 8 ， Y 9, 概率1 / 8
E(X)=E(Y)=2 ，Var(X)=4，Var(Y)=7 如果选择风险厌恶效用函数
u ( x) x 1 1 则： E (u ( X ))＝ 0＋ 4＝ 1 2 2 7 1 5 E (u (Y ))＝ 1＋ 9＝ 1 8 8 4
FSD
FSd的图形表示
F(z)
1 FB(z)
FA(z)
0
1
z
二阶随机占优 SSD
Second-order Stochastic Dominance SSD定义：F二阶占优于G，当且仅当



y
0
( F ( x) G( x))dx 0, y [0,1]
且对某些X值的集合，不等号成立。 符号 A B
SSD
可以证明，如果SSD成立，则， 投资人更偏好A（或F），B（或G）更具风险 SSD的三个等价条件

SSD图形表示
F(z) 取正号
取正号+
FB(z)
取负号
FA(z)
0
z*
y
1
z
SSD其他特性
SSD的3个等价表述 A B

SSD
h( x )
d
x
0
~ ~ ( F ( x) G ( x))dx 0, E ( rA ) E ( rB )

0 a W
~ max E (u ( X )) max E (u (W a~ r ))
0 a W
关于a是凹函数，一阶导数＝0，（2.17） a＊是解，是W的函数， （2.17）中对W求导数， （2.18）。


随W的变化，风险厌恶投资者的a的动态变化
da E[~ r u ' ' (W a~ r )] dW E[~ r 2 u ' ' (W a~ r )]