一元一次方程知识点梳理1.一元一次方程的有关概念(1)一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程. 2.等式的基本性质(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式。
用字母表示若a=b ,则a+m=b+m ,a-m=b-m(2)等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式. 用字母表示:若a=b,则am=bm,n a =nb(n 不为0) 3.解一元一次方程的基本步骤:例1、解方程(1)y-522-=例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同,求m 的值.例3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程:73|12|=-x一元一次方程应用题(找出等量关系) 一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤(1)审题:弄清题意.(2)找出等量关系:找出能够表示本题含义的相等关系.(3)设出未知数,列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,•然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解方程:解所列的方程,求出未知数的值.(5)检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,•是否符合实际,检验后写出答案. 1、数字问题要搞清楚数的表示方法:一个三位数的百位数字为a ,十位数字是b ,个位数字为c (其中a 、b 、c 均为整数,且1≤a ≤9, 0≤b ≤9, 0≤c ≤9)则这个三位数表示为:100a+10b+c 。
例1、 若三个连续的偶数和为18,求这三个数。
例2、 一个两位数,个位上的数是十位上的数的2倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原两位数大36,求原来的两位数等量关系:原两位数+36=对调后新两位数例3、有一个三位数,个位数字为百位数字的2倍,十位数字比百位数字大1,若将此数个位与百位顺序对调(个位变百位)所得的新数比原数的2倍少49,求原数。
分析:然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.2、日历中的规律:横行相邻两数相差____竖行相邻两数相差___。
例1、如果今天是星期三,那么一年(365天)以后的今天是星期___________例2、在日历表中,用一个正方形任意圈出2x2个数,则它们的和一定能被___________整除。
A 3 B 4 C 5 D 6例3、如果某一年的5月份中,有5个星期五,且它们的日期之和为80,那么这个月的4号是星期几?3、等积变形问题常用等量关系为:①形状面积变了,周长没变;②原料体积=成品体积。
例1、用直径为4cm 的圆钢,锻造一个重0.62kg 的零件毛坯,如果这种钢每立方厘米重7.8g ,应截圆钢多长?例2. 用直径为90mm 的圆柱形玻璃杯(已装满水)向一个由底面积为1251252⨯mm 内高为81mm的长方体铁盒倒水时,玻璃杯中的水的高度下降多少mm ?(结果保留整数π≈314.) 4、 和、差、倍、分问题:倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现。
多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
(1)劳力调配问题:这类问题要搞清人数的变化. 例1.某厂一车间有64人,二车间有56人。
现因工作需要,要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间?例2.甲、乙两车间各有工人若干,如果从乙车间调100人到甲车间,那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍;如果从甲车间调100人到乙车间,这时两车间的人数相等,求原来甲乙车间的人数。
(2)配套问题:例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个,应如何分配生产螺栓和螺母的工人,才能使螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个螺母)例2. 机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套?解:设分别安排x 名、()85-x 名工人加工大、小齿轮31621085()[()]x x =-4817002068170025x xx x =-== ∴-=8560x 人答:略.(3)分配问题:例1.学校分配学生住宿,如果每室住8人,还少12个床位,如果每室住9人,则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
例2. 三个正整数的比为1:2:4,它们的和是84,那么这三个数中最大的数是几?(比例分配问题 常用等量关系:各部分之和=总量。
)(4)年龄问题:例1、甲比乙大15岁,5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍,乙现在的年龄是多少岁?例2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁,8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁,求小华现在的年龄。
5、工程问题工程问题中的三个量及其关系为:工作总量=工作效率×工作时间经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1。
例1. 一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?分析设工程总量为单位1,等量关系为:甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
解:设乙还需x 天完成全部工程,设工作总量为单位1,由题意得,(115+112)×3+x12=1,...................例2、在西部大开发中,基础建设优先发展,甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程,两队分别从两端施工相向前进,甲队平均每天可完成480米,乙队平均每天比甲队多完成220米,乙队比甲队晚一天开工,乙队开工几天后两队完成全部任务?6、 打折销售问题(1)销售问题中常出现的量有:进价、售价、标价、利润等 (2)基本关系式:①利润=售价—进价;②售价=标价×折数;③利润率=利润/进价 。
由①②可得出④利润=标价×折数-进价。
由③④可得出⑤利润率= 。
例1、一件衣服标价是200元,现打7折销售。
问:买这件衣服需要多少钱?若已知这件衣服的成本(进价)是115元,那么商家卖出这件衣赚了多少钱?利润是多少?例2、某商场售货员同时卖出两件上衣,每件都以135元售出,若按成本计算,其中一件赢利25%,另一件亏损25%,问这次售货员是赔了还是赚了?7、行程问题。
(行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意,并注意两者运动时出发的时间和地点)要掌握行程中的基本关系:路程=速度×时间。
相遇问题(相向而行),这类问题的相等关系是:甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题(同向而行),这类问题的等量关系是:同时不同地:甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程同地不同时;甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,一般情况下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析,理解行程问题。
例7. 甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇? (2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里? (4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车? 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。
故可结合图形分析。
(1)分析:相遇问题,画图表示为:甲 乙 等量关系是:慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
解:设快车开出x 小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480 解这个方程,230x=390 ∴ x=11623答:略. 分析:相背而行,画图表示为:600甲 乙等量关系是:两车所走的路程和+480公里=600公里。
解:设x 小时后两车相距600公里,由题意得,(140+90)x+480=600解这个方程,230x=120 ∴ x=1223答:略.(3)分析:等量关系为:快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。
解:设x 小时后两车相距600公里,由题意得,(140-90)x+480=600 50x=120∴ x=2.4答:略. 分析:追及问题,画图表示为:甲 乙等量关系为:快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解:设x 小时后快车追上慢车。
由题意得,140x=90x+480 解这个方程,50x=480 ∴ x=9.6 答:略.分析:追及问题,等量关系为:快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解:设快车开出x 小时后追上慢车。
由题意得,140x=90(x+1)+48050x=570 解得,x=11.4①答:略.环形跑道上的相遇和追及问题:同地反向而行的等量关系是两人走的路程和=一圈的路程;同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。
(3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度例:一艘船在两个码头之间航行,水流速度是3千米每小时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头的之间的距离?抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.1、A、B两地相距150千米。
一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发,另一辆汽车以每小时40千米的速度从B地出发,两车同时出发,相向而行,问经过几小时,两车相距30千米?2、甲、乙两人练习100米赛跑,甲每秒跑7米,乙每秒跑6.5米,如果甲让乙先跑1秒,那么甲经过几秒可以追上乙?3、一架飞机飞行在两个城市之间,顺风要2小时45分,逆风要3小时,已知风速是20千米/小时,则两城市间的距离为多少?4、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥,用了半分钟,则火车本身的长度为多少米?5、火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道(即从车头进入入口到车尾离开出口),这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道,求列车的长度。
5.市场经济问题(1)商品利润=商品售价-商品成本价(2)商品利润率=商品利润商品成本价×100%(3)商品销售额=商品销售价×商品销售量(4)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量(5)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.8.储蓄问题七、银行储蓄问题。