3.2
第 三
回 归
章分
析
理解教材新知
把握热点 考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1．线性模型 在回归直线方程^y＝^bx＋^a中，
n
xi－－x yi－－y
n xiyi－n－x －y
i＝1
^b＝
i＝1
＝
，^a＝ y －^b－x .
n
xi－－x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
其中－x ＝ 中心．
[例2] 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多 少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼 时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与 冶炼时间Y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据，如 下表所示：
x(0.01%) 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 Y(min) 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125
n1i＝n1xi
，－y ＝
n1i＝n1yi，(－x ，－y )称为样本点的
2．线性相关性检验 (1)对于变量x与Y随机抽取到的n对数据(x1，y1)，(x2， y2)，…，(xn，yn)，检验统计量是样本相关系数
n
xi－ x yi－ y
i＝1
r＝
n
n
xi－ x 2 yi－ y 2
i＝1
i＝1
2．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对不同的温度观测它在 水中的溶解度，得观测结果如下表：
温度(x) 0 10 20 50 70 溶解度(y) 66.7 76.0 85.0 112.3 128.0 由此得到回归直线的斜率是0.880 9，则线性回归方 程为________．
解析：因为线性回归方程^y ＝0.880 9x＋^a过样本点的 中心(30,93.6)，所以^a＝67.173, ^y＝0.880 9x＋67.173. 答案：^y＝0.880 9x＋67.173
所以， x ＝255＝5， y ＝2550＝50，i＝51x2i ＝145，
5
xiyi＝1 380.
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
于是可得^b＝
5
＝1 318405－－55×2×5×5 50＝6.5，
x2i －5 x 2
i＝1
^a＝ y －^b x ＝50－6.5×5＝17.5. 所以所求的线性回归方程为^y＝6.5x＋17.5. (3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为 10百万元时， ^y ＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)， 即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百 万元．
－x ＝159.8，－y ＝172，
10
10
10
xi2＝26 5448，y2i ＝31 2350，xiyi＝28 7640
i＝1
i＝1
i＝1
于是r＝
10
xiyi－10 x y
i＝1
≈0.990 6.
10
i1
234ຫໍສະໝຸດ 5678
9
10
xi 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121
yi 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125
xiyi 10 400 36 000 39 900 32 745 22 785 18 090 25 500 39 155 47 940 15 125
3．样本相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向 及密切程度，不能揭示二者之间的本质联系．
4．样本相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程 度，明确的给出有无必要建立两变量间的回归方程．
[例1] 某种产品的广告费用支出x与销售额Y(单位： 百万元)之间有如下的对应数据：
x/百万元 2 4 5 6 8 Y/百万元 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； (2)求回归直线方程； (3)试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？
n
xiyi－n x y
i＝1
＝
n
n
x2i －n x 2y2i －n y 2
i＝1
i＝1
r具有以下性质：|r|≤1，并且r越接近1，线性相关程度越 强 ；|r|越接近0，线性相关程度越 弱 ．
(2)检验步骤如下： ①作统计假设：x与Y不具有线性相关关系． ②根据小概率0.05与n－2在附表中查出r的一个临界值r0.05. ③根据样本相关系数计算公式算出r的值． ④作出统计推断．如果|r|>r0.05 ，表明有95%把握认为x 与Y之间具有线性相关关系． 如果 |r|≤r0.05 ，我们没有理由拒绝原来的假设．这时寻找
[一点通] 求线性回归方程的步骤： (1)列表表示xi，yi，xiyi；
n
n
(2)计算 x ， y ，xi2，xiyi；
i＝1
i＝1
(3)代入公式计算^a，^b的值； (4)写出线性回归方程．
1．已知线性回归方程为 ^y ＝2－2.5x，则x＝25时，y的估 计值为________．
解析：当x＝25时， ^y ＝2－2.5×25＝－60.5，即y的估 计值为－60.5. 答案：－60.5
回归直线方程是毫无意义的．
1．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图， 但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是 否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量 之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用样本相 关系数来判断．
2．|r|越接近1，它们的散点图越接近一条直线， 这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好．
(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时 间的一般规律吗？
(2)求线性回归方程． (3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？ [思路点拨] 判断两变量之间是否具有相关关系，要计 算出相关系数r，比较r与临界值的大小．依据线性回归直线 方程，对冶炼时间进行预报．
[精解详析] (1)由已知数据列成下表.
[思路点拨] (1)按表中的数据在平面直角坐标系 中描点即得散点图；
(2)由公式求出^a，^b，写出回归直线方程； (3)利用回归方程分析．
[精解详析] (1)散点图如图所示：
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 4 5 6 8 25 yi 30 40 60 50 70 250 xiyi 60 160 300 300 560 1 380 x 4 16 25 36 64 145