始条件是指物体开始传热
时（即 t = 0 时）的瞬时温度分布。（充填
铸型后铸件冷却凝固开始时刻）
• 边界条件： 边界条件是指计算区域的表
面与周围介质间的热交换情况。
常见的边界条件有以下三类
第一类边界条件： 给定物体表 面温度随时间的变化关系 第二类边界条件： 给出通过物 体表面的比热流随时间的变化 关系（包括对称、绝热面） 第三类边界条件： 给出物体周 围介质温度以及物体表面与周 围介质的换热系数
式中:
a
c
2
—— 导温系数， —— 拉普拉斯运算符号。
2T 2T a 2 2 t x y
T 2T a 2 t x
• 二维传热： T
• 一维传热：
• 上述微分方程式是传热学理论中的最基本 公式，适合于包括铸造、焊接过程在内的 所有热传导问题的数学描述，但在对具体 热场进行求解时，除了上述微分方程外， 还要根据具体问题给出导热体的初始条件 与边界条件。 • 此外思考，凝固潜热在控制方程中是如何 体现？（温度回升法、折算比热法等）
Tw f (t )
T q x, y , z , t n
T ＝ n
Tw T f
• 上述三类边界条件中，以第三 类边界条件最为常见。
温度场计算的解析法
解析方法是直接应用现有的数学理论和定律去推导和演绎 数学方程（或模型），得到用函数形式表示的解，也就是 解析解。 优点：是物理概念及逻辑推理清楚，解的函数表达式能够清楚地表
若实际三维铸件或其局部可以近似地认为是沿着界面的法 线方向一维热传导，这样就构成了半无限大平板铸件凝固 过程的一维不稳定温度场的求解问题。为简化问题、有利 解析法实现 假设： （1）凝固过程的初始状态为：铸件与铸型内部分别为均温， 铸件的起始温度为浇铸温度T 10 ，铸型的起始温度为环境 温度或铸型预热温度T20 ； （2）铸件金属的凝固温度区间很小，可忽略不计； （3）不考虑凝固过程中结晶潜热的释放； （4）铸件的热物理参数 λ1 、c1 、ρ1与铸型的热物理参数 λ2 、c2 、ρ2 不随温度变化；
达温度场的各种影响因素，有利于直观分析各参数变化对温度高低的 影响。
缺点：通常需要采用多种简化假设，而这些假设往往并不适合实际
情况，这就使解的精确程度受到不同程度的影响。目前，只有简单的 一维温度场（“半无限大”平板、圆柱体、球体）才可能获得解析解。
温度场计算的数值求解法 （凝固数值模拟）
• 数值方法又叫数值分析法，是通过对 传热控制微分方程的简化、然后利用 计算机编程，利用计算机求解简化后 的代数模型。得到的近似解也称数值 解。故又称为数值模拟或计算机模拟。 • 常用数值化求解方法有：
• 等温面：空间具有相同温度点的组合面。 • 等温线：某个特殊平面与等温面相截的交线。 • 温度梯度（ gradT ）：对于一定温度场，沿等温面或等温 线某法线方向的温度变化率。温度梯度越大，图形上反映 为等温面（或等温线）越密集。
热传导过程的偏微分方程
• 三维傅里叶热传导微分方程为：
T 2T 2T 2T 2 a T 2 2 2 t c x y z
（5）铸件与铸型紧密接触，无界面热阻，即 铸件与铸型在界面处等温（Ti）。显然，凝 固过程中，铸件与铸型中的温度分布符合：
该一维非稳态传热微分方程通解为：
式中，C 、D为不定积分常数， erf (x)为高斯误差 函数，其计算式为：
其值可通过查表求得。误差函数的性质为： x=0, erf(x)=0,erf(-x)=-erf(x), erf(∞)=1, erf(-∞)=-1. • 对于铸件侧，有边界条件：x =0( t >0)时， T1 = T2 = Ti ，初始条件：t=0 时，T1 = T10 , 所以得（铸件侧温度分布）：
• 差分法：是把原来求解物体内随空间、时 间连续分布的温度问题，转化为求在时间 领域和空间领域内有限个离散点的温度值 问题，再用这些离散点上的温度值去逼近 连续的温度分布。差分法的解题基础是用 差商来代替微商，这样就将热传导微分方 程转换为以节点温度为未知量的线性代数 方程组，得到各节点的数值解。
T
T10 铸型 λ2 c2 ρ2 铸件 λ1 c1 ρ1
半无限大平板铸件凝固过程的 一维不稳定温度场（温度分布）
Ti
T20
0 图2-3无限大平板铸件凝固温度场分布
x
铸件凝固时间
• 铸件的凝固时间：是指从液态金属充满型 腔后至全部凝固完毕所需要的时间。铸件 凝固时间是制订生产工艺、获得稳定铸件 质量的重要依据。
同理可得铸型侧温度场方程式为：
对于公式中的界面温度Ti，可以通过在界面处热流的 连续性条件求出，
• 即：上式中， b1 = λ1 c1 ρ1 ，为铸件的蓄热系 数； b 2 = λ2 c 2 ρ2 ，为铸型的蓄热系数。最后 可得铸件、铸型内温度分布的解析解为：
——其中忽略了可能很重要的界面热阻的影响！
铸件凝固温度场及其 凝固数值模拟概论
北京科技大学钢铁冶金系 张家泉
提纲
凝固传热基本原理 热传导过程的偏微分方程 凝固温度场的求解方法 1）数学解析法 2）数值模拟法 2）铸件凝固时间 3）凝固数值模拟应用举例
凝固传热基本原理
一）温度场基本概念 • 稳定温度场： 不随时间而变的温度场（即温度只是坐标的 函数），其表达式为： T = f(x, y, z) • 不稳定温度场：温度场不仅在空间上变化，并且也随时间 变化的温度场——铸件凝固多属于带相变热释放与冷却传 热的非稳态温度场问题。 T = f (x, y, z, t)
• 有限元法：是根据变分原理来求解热传导 问题微分方程的一种数值计算方法。有限 元法的解题步骤是先将连续求解域分割为 有限个单元组成的离散化模型，再用变分 原理将各单元内的热传导方程转化为等价 的线性方程组，最后求解全域内的总体合 成矩阵。
铸件凝固温度场的解析解法
• 例：半无限大平板铸件凝固过程的一维不 稳定温度场