he ：间隙对流传热的等效换热系数一 可实测。 （3）凝固潜热的处理： 在凝固过程中，使铸件温度下降缓慢，讨论时有以下处理方法。 1)温度回升法 2)等价比热容法 3) 积分法 4)热焓法
四、铸件温度场的测定
（1）铸件温度场的测定方法 ）
（2）铸件温度场的绘制 ）
（3）铸件温度场的分析 ）
五、铸件温度场的影响因素
2 2
2
∴ t (τ + ∆τ , x) − t (τ , x) ∆τ =
t (τ , x + ∆x) − 2 t (τ , x ) + t (τ , x − ∆x ) ∆x
2
∆x 令：M= a∆τ
2
t (τ + ∆τ , x ) =t1’
→ t ’ = 1 [t0+(M-2)t1+t2] M t (τ , x − ∆x ) =t0
体积凝固方式（糊状凝固方式）特点： 凝固动态曲线上的两相边界的纵向间距很小 或是无条件重合。 a、铸件断面温度平坦 b、结晶温度范围很宽——凝固动态曲线上 的两相边界纵向间距很大
3、中间凝固（结晶范围较窄或铸件断面温度梯度较大的合金） 、中间凝固（结晶范围较窄或铸件断面温度梯度较大的合金） 如果合金的结 晶范围较窄，或因 铸件断面的温度梯 度较大，铸件断面 上的凝固区域介于 前两者之间时，属 于“中间凝固方式”。
a1c1 λ 1
t1p1Biblioteka 在以上条件下，铸型和铸件任意一点的温度 与 和 无关 无关， 在以上条件下，铸型和铸件任意一点的温度T与y和z无关， 为一维导热问题： 为一维导热问题：
∂T ∂t = a ∂
2
T
2
∂x
通解： 通解：
x T = C + D erf 2 at
erf（x）为高斯误差函数，其计算式为： （ ）为高斯误差函数，其计算式为：
T = f ( x, y, z , t )
不稳定温度场 随空间，时间变化的温度场 T = f (x, y, z, t) 稳定温度场 不随空间，时间变化的温度场 T = f ( x , y , z )
温度梯度：温度随距离的变化率 gradT = lim ∆T n = ∂T n 温度梯度
∆n
∂n
（二）传热的基本公式 1、热传导：在连续介质内部或相互接触物体之间不发生相 对位移而反靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而 产生热量传输。
∂T q = −λ gradT = −λ n ∂n
2、热对流：由流体各质点间的相对位移而引起的热量转移 方式。 自然对流：由质点间的温度差或密度差引起的浮力流 强迫对流：在外力驱动下产生的质点相对位移 3、热辐射：由于内部原子振动而发生的一种电磁波的能量 传递
二、凝固传热的基本方程
（一）凝固过程特点 铸造过程中液态金属在充型时与铸型间的热量交 换以对流为主，铸件在铸型中的凝固，冷却过程中以热 传导为主。 （二）热传导过程的偏微分方程
∂t =α ∂ t 2 ∂τ ∂x
2
2
2 2
x ） t2=C2+D2erf（ 2 aτ
∴
x ） 同理可得：t2= tF+ （t20- tF）erf（ 2 aτ Q tF是未知的下面求tF：
Q 界面热流连续
∂t ∂t ∴λ [ ]= λ[ ] ∂x ∂x
1 2
1
x =0
2
x =0
∂t [ ]= ∂x
数值方法
用计算机程序来求解数学模型的近似解。采用 用计算机程序来求解数学模型的近似解 计算机模拟技术，不仅成功解决并直观地表达出温 度场的动态变化，而且为热过程相关的其他质量问 题的研究提供了理论依据和计算思路。 （1）差分法 ） 将物体内随时间、空间连续问题转化为时间或空间 领域内有限个离散点 有限个离散点的温度值问题，用这些离散点 有限个离散点 上的温度值逼近连续的温度分布。 优点：对于有规则的工件外形和均质材料的温度场 求解，它的程序设计和计算过程比较简单。
第2节 铸造过程温度场 节
一、半无限大平板铸件凝固过程的一维不稳定温 度场
铸件距离界面为x处的温度分布方程为：
b1T10 + b2T20 b2T10 − b2T20 x T1 = + erf ( ) b1 + b2 b1 + b2 2 a1t
铸型距离界面为x处的温度分布方程为：
b1T10 + b2T20 b1T10 − b1T20 x T2 = + erf ( ) b1 + b2 b1 + b2 2 a2t
（2）界面热阻较大的金属铸型
（3）界面热阻很小的金属铸型
（4）非金属铸件与金属铸型
四、铸件凝固方式及其影响因素
（一）铸件动态凝固曲线
凝固动态曲线： 左边线：液相边界— 凝固始点 右边线：固相边界—凝固终点 凝固动态曲线：表示铸件段面上液相和固相 等温线由表面向中心推移的动态曲线。
（二）凝固区域及其结构
∂t ∂τ
= a∇ 2 t
λ a= cρ
：热扩散率； 热扩散率；
以上微分方程的解特别复杂，只能用来解决特殊的问题。 以上微分方程的解特别复杂，只能用来解决特殊的问题。 平壁、 圆柱——温度场是一维的 如：平壁、球、圆柱 温度场是一维的
推导过程
例：假设具有一个平面的半 无限大铸件在半无限大铸 型冷却。条件如下： 铸件、 铸型 1.铸型和铸件的材质是均质 2.铸型初始温度为t2； 3.设液态金属充满铸型后立 即停止流动且各处温度均 匀及铸件的初始温度为t1 4.坐标原点设在铸型与铸件 接触面上。
可以利用计算机进行大量的计算，来得到 温度场的满意结果（近似解）下面以有限差 ∂ 2t ∂t 分法为例： α ∂x 2 ∂τ = 沿热流方向把物体分割为若干单元，端面为 一单位面积，单元长度为△x 则用差分代替微分：
1. 一维系统
∂t t (τ + ∆τ , x) − t (τ , x) ≈ ∂τ ∆τ t (τ , x + ∆x) − t (τ , x) t (τ , x) − t (τ , x − ∆x) ∂t − ∆x ∆x ∂x = ∆x t (τ , x + ∆x) − 2 t (τ , x ) + t (τ , x − ∆x ) ∆x =
为不稳定导热的有限差分计算方程 t(τ , x + ∆x) = t 2 t (τ , x ) =t1
∆x 此方程的解：M ≥ 2，当∆X确定后 ∆τ ≤ 2a
2
以上为铸件或铸型内部的温度计算方式，下 面讨论一个界面的单元的处理方法
2、铸件温度场数值计算中的几个问题 （1）铸件一铸型界面的初始温度 t b +t b 铸件的初始温度为浇注温度、铸型室度 界面初始温度： tF= b + b
2、铸型性质的影响 、
（1）蓄热系数 2 ）蓄热系数b b2越大，对铸件的激冷能力强，铸件中温度场 就越陡 （2）铸型预热温度 ） 铸型预热温度高，激冷作用小，温度梯度小， 温度场平坦
3、浇注条件 、
浇注温度高，过热度增加，相当于提高铸型温 度，温度梯度小
4、铸件结构的影响 、
（1）铸件壁厚 ） 铸件越厚，温度梯度越 小，温度场平坦 （2）铸件的形状 ） 向外凸的曲面（球面、 圆柱表面、L形铸件的外 角，铸件的冷却速度比 平面部分要大；向内凹 的曲面（圆筒铸件内表 面、L或T形的内角，铸 件的冷却速度小于平面 部分。
x erf 2 at = 2
π
∫
x 2 3 0 at
e
−β
2
dβ
∂t α ∂ t 对于铸件： = 1 ∂x ∂τ
2
1
1
2
x t1 = C1 + D1 erf ( ) 2 a1τ
代入边界条件：
x t1= tF+（tF- t10）erf（ ） 2 aτ
对于铸型导热微分方程为：
（2）有限元法 ） 根据变分原理来求解热传导问题微分方程的一 种数值方法。将连续求解域分割为有限个单元 有限个单元组成 种数值方法 有限个单元 离散化模型，再用变分原理将各单元内的热传导方 程转化为等价的线性方程组，最后求解全域内的总 体合成矩阵。 优点：适合于具有复杂形状的铸件
（一 ） 数学解析法
第2章 凝固温度场 章
第1节 传热基本原理 节 第2节 铸造过程温度场 节
重点：温度场计算、 重点：温度场计算、 铸件凝固方式及其影响因素 难点：温度场计算、 难点：温度场计算、 温度场绘制
第1节 传热基本原理 节
一、温度场与传热学基本理论
（一）温度场与温度梯度 空间坐标系中所有点的瞬时温度场值的数学表达式：
（三）铸件凝固方式
铸件凝固方式一般分为三种类型：逐层凝固、体积凝固和 中间凝固。 1、逐层凝固（纯金属或共晶成分合金的凝固方式） 、逐层凝固（纯金属或共晶成分合金的凝固方式） 恒温下结晶的金属， 在凝固过程中其铸件断面 上的凝固区域宽度等于零， 断面上的固体和液体由一 条界线清晰地分开，随着 温度的下降，固体层不断 加厚，逐步到达铸件中心， 此为“逐层凝固方式”。
应用数学方法研究铸件和铸型的传热。 铸件在铸型中的凝固极为复杂： 1.不稳定的传热 2.铸件的传热大多为三维传热 3.释放结晶潜热 4.铸件、铸型的热物理参数随温度而变 所以用数学解析的方法研究此过程必须进行简化
对于不稳定导热： 对于不稳定导热：
∂t ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t = a（ 2 + 2 + 2 ) ∂τ ∂x ∂y ∂z
二、铸件凝固时间计算 （一）无限大平板铸件的凝固时间计算
τ =
π ρ1[ L + c1 (T10 − Ts )] V1
2b2 (Ti − T20 ) A1
（二）大平板铸件凝固时间计算的平方根定律