Fx 2( y z) yz 0
解联立方程组
Fy
2(x
z)
xz
0
消去
，解得 x y z 3 1000
10
Fz
2(
y
x)
xy
0
xyz 1000 0
所以，根据问题的实际意义，当长方体的长、宽、高都等于10米时
（正方体），箱子所用的材料最省。
注：体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。
2
2
即有
f (x, y) 2xy x2 y2
例3 求函数 z x2 3xy y 2 3x 5y 在点(1, 2 ) 处的偏导数。
解： 把 y 看作常数，对x 求导，得到
f x(x, y) 2x 3y 3
把 x 看作常数，对 y 求导，得到
f y(x, y) 3x 2 y 5
cos y ( y cos x) (x cos y) ( y sin x) ( y cos x)2
cos y(cos x x sin x)
y cos2 x
z y
(
x y
cos cos
y x
)y
(x
cos
y)y
(y
cos x) (x cos ( y cos x)2
y) ( y
cos
x)y
例6 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y 2 9x 的极值。
解：先解方程组 f x(x, y) 3x2 6x 9 0
f y(x,
y)
3y 2
6y
0
，
得驻点 (1, 0) (1, 2) (3, 0) (3, 2) 又f xx (x, y) 6x 6 f xy (x, y) 0 f yy (x, y) 6 y 6 在点 (1, 0)处， B2 AC 12 6 0 ，又 A 0 ，故点 (1, 0) 是极小 值点，极小值为 f (1,0) 5 在点(1, 2)，(3, 0) 处， B2 AC 12 6 0，故函数在这两点处没有极值。 在点(3, 2) 处， B2 AC (12) (6) 0 ，又 A 0 ，故函数
在该点处有极大值 f (3,2) 31 。
例7 要造一个容量为1000立方米的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，
才能使所用的材料最省？
解： 设箱子的长、宽、高分别为x ，y ，z ，由已知xyz 1000 ，
设箱子的表面积为S ， 则 S 2(xy yz xz)
本题即求函数 S 2(xy yz xz) 在约束条件 xyz 1000 0 下的最小值。令 F(x, y, z) 2(xy yz xz) (xyz 1000)
所求偏导数为
f x(1,2) 2 1 3 2 3 5
f y(1,2) 31 2 2 5 12
例4
设函数 z x cos y ，求偏导数 z ，z
y cos x
x y
。
解：
z x
(
x y
cos cos
y x
)x
(x cos y)x ( y cos x) (x cos y) ( y cos x)x ( y cos x)2
2.求二元函数偏导数实际上是将其中的一个变量看成常数,对另一个 求导数。学好偏导数是掌握求二元函数条件极值的基础。因此，要 变量熟练掌握求二元函数的一阶和二阶偏导数。
3.经济问题中经常是多元函数优化的问题,要熟练掌握二元函数求极 值方法。
三、重点和难点 重点：
1.二元函数偏导数的求法 2.二元函数的极值及在经济中的应用。
第元函数的定义，二元函数极限与连续的概念，二元函数偏导数的 概念与基本运算法则，边际与偏弹性的概念及应用。
2．二元函数极值，二元函数条件极值的概念与求法，极值在经济中的应用。
3．二元函数极值模型的实际案例。
二、学习方法
1．本章的知识体系及结构与一元函数相似。一元函数的相关知识 （极限、连续、导数等）都可相应地推广到二元函数（极限、连续、 偏导数等）中。
难点： 1.二元函数极限、连续、偏导数的概念 2.二元函数条件极值
四、例题分析
例1
求函数
y
ln(x
y) arcsin x 4
的定义域，并在平面上画出定义域的图形。
解：要使函数有意义，必须满足
x y 0
1
x 4
1
x y 4 x 4
所以 定义域为： (x, y) x y,4 x 4
定义域的图形如图中的阴影部分。
y y x
4
o
4x
例2
已知函数
f (x y, x y)
x2 y2 x2 y2
，求 f (x, y)
。
解：设 u x y ，v x y ，则 x u v ，y u v
2
2
故得
(u v)2 (u v)2
f (u, v) 2
2
2uv
(u v)2 (u v)2 u2 v2
所以 2 z 2e y y 4 sin(xy 2 )
x 2 2 z x2e y 2x cos(xy2 ) 4x2 y 2 sin(xy2 ) y 2 2 z 2xe y 2 y cos(xy 2 ) 2xy3 sin(xy 2 ) xy
2 z 2xe y 2 y cos(xy 2 ) 2xy3 sin(xy 2 ) yx
课堂练习： 自测题A（基础层次）
(x sin y) ( y cos x) (x cos y) cos x ( y cos x)2
x( y sin y cos y)
y 2 cos x
例5 设函数 z x2e y sin(xy2 ) 1 ,求它的二阶偏导数。
解：z
x
2xe y
y2
cos(xy 2 )
z
，y
x2e y
2xy cos(xy 2 )