定积分一、知识点与方法： 1、定积分的概念设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式1()nn i i I f x ξ==∆∑（其中x ∆为小区间长度），把n →∞即0x ∆→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(＝1lim()ni n i f x ξ→∞=∆∑。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。
(1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。
(2)定积分的性质 ①⎰⎰=ba badxx f k dxx kf )()(（k为常数）；②⎰⎰⎰±=±bababa dxx g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=ba ca bc dxx f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。
2、微积分基本定理如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么:()()|()()b ba af x dx F x F b F a ==-⎰3、定积分的简单应用(1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的曲边梯的面积⎰=badx x f S )(。
如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a <b ）围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-ba badx x f dx x f )()(21。
(2) 定积分在物理中的应用： ①求变速直线运动的路程()b as v t dt =⎰（()v t 为速度函数）②求变力所做的功 ()b aW f x dx =⎰二、练习题1、计算下列定积分： (1)2111()ex dx xx++⎰ (2)20(sin 2cos )x x dx π-⎰ (3)0(2sin 32)xx e dx π-+⎰(4)2dx ⎰ (5)31|2|x dx --⎰2、求下列曲线所围成图形的面积：（1）曲线222,24y x x y x x =-=-； （2）曲线,,1x x y e y e x -===。
3、22(sin cos )x x dx ππ-+⎰的值是：A. 4B. 2C.4πD. 04、曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是： A. 1 B.23C.12D.135、已知自由下落物体的速度为v gt =，则物体从0t =到1t =所走过的路程是： A.13g B.g C.12g D.14g6、已知2()321f x x x =++，且11()2()f x dx f a -=⎰，则a =7、已知122()(2)f a ax a x dx =-⎰，求()f a 的最大值。
8、已知()f x 为二次函数，且1(1)2,(0)0,()2f f f x dx '-===-⎰，求：(1) ()f x 的解析式； (2) ()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值。
导 数1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f xy ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f xy x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在x 处的导数，记作)(0'x f 或|'xx y =，即)(0'x f =xx f x x f xy x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim000.注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零(趋向0). ②已知函数)(x f y =定义域为A，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为BA ⊇.2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续.事实上，令xx x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(limlim )()(lim)]()()([lim 000'000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x xx f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点0=x 处不可导，因为xx xy ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆xy ；当x∆＜0时，1-=∆∆xy ，故xy x ∆∆→∆0lim不存在.注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cvcv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v vu v vuv u注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设xx x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos)(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fxx cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或xuxuyy '''⋅=复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.⑵常数的判定方法； 如果函数)(x f y =在区间I内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(xx f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： I.0'=C （C 为常数） x xc o s )(s i n '= 2'11)(a r c s i n xx -=1')(-=n nnxx （Rn ∈） x x sin )(cos '-=2'11)(a r c c o s xx --=II.xx 1)(ln '=exx a a l o g 1)(l o g '=11)(a r c t a n 2'+=xxxxee=')(a aa xxln )('=11)o t (2'+-=xx a r cIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=.②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式. ③无理函数或形如xxy =这类函数，如xxy =取自然对数之后可变形为xx y ln ln=，对两边求导可得。