相似三角形常见模型一
【知识清单】 【典例剖析】
知识点一：A 字型的相似三角形 A 字型、反A 字型（斜A 字型）
B
（平行）
B
（不平行）
（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△
（2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则ACB ADE ∽△△
1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：
111c a b
=+.
2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连
接
DE ，可得︒=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21=
，AE AD 3
2
=，求AC
AB 的值。

变式练习：
1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则
111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ∆=四边形四边形四边形
2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，
::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN =
3、（2014•乌鲁木齐）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
F
E D
C
B
A
C
B
A D
E
M 1F 1E 1M
E
F A
B C
M N A
B
C
D E F
知识点二：8字型相似三角形
B
C
C
（蝴蝶型）
（平行）（不平行）
（1）如图，若CD
AB∥，则DOC
AOB∽△
△
（2）如图，若C
A∠
=
∠，则CDJ
ABJ∽△
△
1、已知，P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD，BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H
求证：
PE PH
PF PG
=
2、如图，设
AB BC CA
AD DE EA
==，求证：12
∠=∠
变式练习：
1、（2010•威海）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．
P
H
G
F
E
D C
B
A
E
A
B
C D
E
K
﹙1﹚将△ABC ，△A 1B 1C 1如图②摆放，使点A 1与B 重合，点B 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交BB 1于点E ．求证：∠B 1C 1C=∠B 1BC ．
﹙2﹚若将△ABC ，△A 1B 1C 1如图③摆放，使点B 1与B 重合，点A 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交A 1B 于点F ，试判断∠A 1C 1C 与∠A 1BC 是否相等，并说明理由． ﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A 1FC 相似的三角形．
2、如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与B C 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点。

(1)若BK=
5
2KC ，求CD AB
的值； (2)连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE= 1
2
AD 时，
猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=
1n
AD (n>2)，而其余条件不变时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．
知识点三：母子型证明三角形相似
B
（1）如图，若B ACD ∠=∠,则ABC ACD ∽△△
（2）如图，若BC AC ⊥，AB CD ⊥，则ACB CDB ADC ∽△∽△△
如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．
B
求证：OE OA OC ⋅=2
．
变式练习：
1、已知：在正三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD CE =,直线CD 与
AE 相交于点F
求证：①DC AE =,②2
AD DC DF =⋅
2、已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2
．
【课后练习】
A
B C
D
E
F
1、已知：在ABC ∆中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且2AE
EC
=,BE 、CD 相交于点F ， 求BF
EF
的值
3、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边
AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，
△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．
F
E D
C
B
A
D E
（第3题图）。